《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

3. 九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地。地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺。同学们测得AE = 6.6 m，OE = 1.4 m，OB = 6 m，OC = 5 m，OD = 3 m。班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙围出一块封闭的矩形菜地，求出该菜地最大面积。
　　

答案：
解:由题知$OA = AE + OE = 6.6 + 1.4 = 8$.
　要使该矩形菜地面积最大，则利用$AO$和$CO$构成矩形，
　如图，设矩形在射线$OA$上的一段长为$x\ m(x\leq8)$，矩形菜地的面积为$S$，
　①当$x\leq8$时，如答图1，
　　　　　　　　
　则在射线$OC$上的长$=\frac{16 - x - 1.4 + 5}{2} = \frac{19.6 - x}{2}$.
　则$S = x\cdot\frac{19.6 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 9.8x = -\frac{1}{2}(x - 9.8)^2 + 48.02$，
∵$-\frac{1}{2} ＜ 0$，
∴当$x\leq9.8$时，$S$随$x$的增大而增大，
　当$x = 8$时，$S = 46.4$，
∴$S$的最大值为46.4.
　②当$x ＞ 8$时，如答图2，
　　　　　　　　
　矩形菜园的周长$=(16 + 6.6 + 5) = 27.6$，
　则在射线$OC$上的长$=\frac{27.6 - 2x}{2} = 13.8 - x$.
　则$S = x\cdot(13.8 - x) = -x^2 + 13.8x = -(x - 6.9)^2 + 47.61$，
∵$-1 ＜ 0$，
∴当$x ＞ 6.9$时，$S$随$x$的增大而减少，当$x = 8$时，$S = 46.4$.
∴当$x ＞ 8$时，$S$的值均小于46.4.
　综上，矩形菜地的最大面积是$46.4\ cm^2$.

每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发的一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆。公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元。
(1)求y与x的函数关系式。每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请求出这天售出了多少辆轮椅。

答案： 解:
(1)由题意得$y = (200 - x)(60 + \frac{x}{10}\times4) = -\frac{2}{5}x^2 + 20x + 12000 = -\frac{2}{5}(x - 25)^2 + 12250$.
∴当$x ＜ 25$时，$y$随$x$的增大而增大，
　又
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴$200 - x\geq180$，
∴$x\leq20$.
∴当$x = 20$时，每天的利润最大，最大利润为$-\frac{2}{5}\times(20 - 25)^2 + 12250 = 12240$(元).
　答：$y$与$x$的函数关系式为$y = -\frac{2}{5}(x - 25)^2 + 12250$. 每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，最大利润为12240元.
(2)当$y = 12160$时，$-\frac{2}{5}(x - 25)^2 + 12250 = 12160$.
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 40$(不合题意，舍去).
∴$60 + \frac{10}{10}\times4 = 64$(辆).
答：全国助残日这天售出了64辆轮椅