《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

典例精讲●掌握通性通法
原创 如图1，抛物线$y=-x^2 + 2x + 3$与$x$轴交于$A,B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，点$D$是抛物线的顶点，直线$l$经过$B,C$两点，连接$AC$.
(1)求点$A,B,C,D$的坐标和直线$l$的函数表达式.
　　

基础层 铅垂法求面积
(2)如图2，求四边形$ACDB$的面积.
一题多解
　　

(3)如图3，若点$M$是直线$l$上方抛物线上的一个动点，是否存在点$M$，使$S_{\triangle CMB}=\frac{7}{2}$？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由.
　　

(4)在直线$l$上方的抛物线上，是否存在一点$M$，使$\triangle CMB$的面积最大？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由.
思路分析
可采用“名师一点通”中的铅垂法，构造共底三角形，列出二次函数表达式并求出最值，或利用等面积转化求最值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

能力层 等积变换法求面积
(5)如图4，在抛物线上是否存在一点$N$，使$S_{\triangle ABN}=S_{\triangle ABC}$？若存在，求出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由.
　　　

(6)如图5，在抛物线上是否存在一点$N$，过$N$作$NP\perp x$轴于点$P$，交$BC$于点$H$，使$BC$把$\triangle BNP$分成面积相等的两部分？若存在，求出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由.
思路分析
通过观察，两三角形为等底同高三角形，可将面积相等转化为线段相等，即可求出点$N$的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

答案：
解：
(1)把y = 0代入y = -x² + 2x + 3，得-x² + 2x + 3 = 0，
解得x₁ = -1，x₂ = 3，
∴A(-1,0)，B(3,0).
把x = 0代入y = -x² + 2x + 3，得y = 3，
∴C(0,3).
∵y = -x² + 2x + 3 = -(x - 1)² + 4，
∴D(1,4).
设直线l的函数表达式为y = kx + b(k ≠ 0)，
∵直线l经过点C(0,3)，B(3,0)，
∴{b = 3, 3k + b = 0.}
∴{k = -1, b = 3.}
∴直线l的函数表达式为y = -x + 3.
(2) 一题多解
方法一，如答图1，延长DC交x轴于点E，
　　　　　　　　
过点D作DF⊥x轴于点F.
∵D(1,4)，
∴DF = 4.
设直线DC的函数表达式为y = mx + a(m ≠ 0)，
∵直线DC经过点D(1,4)，C(0,3)，
∴{a = 3, m + a = 4.} 解得{m = 1, a = 3.}
∴直线DC的函数表达式为y = x + 3.
当y = 0时，x + 3 = 0，
∴x = -3.
∴E(-3,0).
又
∵A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴AE = 2，BE = 6，CO = 3.
∴S_{四边形ACDB} = S_{△DEB} - S_{△AEC} = 1/2EB·DF - 1/2AE·CO = 1/2×6×4 - 1/2×2×3 = 12 - 3 = 9.
方法二，如答图2，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点H，
　　　　　　　　　
S_{四边形ACDB} = S_{△CDB} + S_{△ABC} = 9.
(3)不存在.理由如下：
如答图3，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点P，
　　　　　　　　
∵点M在抛物线y = -x² + 2x + 3上，
∴设M(m, -m² + 2m + 3).
∵点P在直线y = -x + 3上，
∴P(m, -m + 3)，
∴MP = -m² + 2m + 3 - (-m + 3) = -m² + 3m.
∵S_{△CMB} = 1/2MP·(3 - 0) = 3/2×(-m² + 3m) = -3/2m² + 9/2m，
S_{△CMB} = 7/2，
∴-3/2m² + 9/2m = 7/2，即3m² - 9m + 7 = 0.
∵Δ = (-9)² - 4×3×7 = -3 ＜ 0，
∴方程无解.
∴不存在点M使S_{△CMB} = 7/2.
(4)存在.
如答图4，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交BC于点P.
　　　　　　　　
设M(m, -m² + 2m + 3)(0 ＜ m ＜ 3)，则P(m, -m + 3)，
∴MP = -m² + 2m + 3 - (-m + 3) = -m² + 3m，
∴S_{△MBC} = 1/2MP·(3 - 0) = -3/2m² + 9/2m = -3/2(m - 3/2)² + 27/8.
∵-3/2 ＜ 0，
∴当m = 3/2时，S_{△MBC}最大.
当m = 3/2时，-m² + 2m + 3 = -(3/2)² + 2×3/2 + 3 = 15/4，
∴M(3/2, 15/4).
(5)存在.设N(n, -n² + 2n + 3).
∵S_{△ABC} = S_{△ABN}，
∴1/2AB·CO = 1/2AB·|-n² + 2n + 3|.
∵CO = 3，
∴|-n² + 2n + 3| = 3.
∴-n² + 2n + 3 = ±3.
由-n² + 2n + 3 = 3得n(n - 2) = 0，
∴n₁ = 2，n₂ = 0(舍).
∴N₁(2,3).
由-n² + 2n + 3 = -3得n² - 2n - 6 = 0，解得n = 1 ± √7.
∴N₂(1 + √7, -3)，N₃(1 - √7, -3).
∴存在，点N的坐标为(2,3)，(1 + √7, -3)或(1 - √7, -3).
(6)存在.设N(n, -n² + 2n + 3).
∵NP⊥x轴于点P，交BC于点H，
∴H(n, -n + 3)，P(n,0).
由题意知BH为△BNP的中线，
∴NP = 2HP.
当点N在直线l上方的抛物线上时，
2×(-n + 3) = -n² + 2n + 3，
∴n² - 4n + 3 = 0.
∴n₁ = 1，n₂ = 3(舍).
∴N(1,4).
当点N在直线l下方的抛物线上时，不存在.
综上所述，点N的坐标为(1,4).