《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

考点二 矩形的性质与判定 5年4考
3. 教材变式 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.



(1)如图1，若∠AOB = 60°，BD = 8，则AB的长为________.
(2)若AB = 3，BC = 4，E为BC上一动点.
①如图2，连接AE交BD于点F，当AE⊥BD时，AF的长为________.
②如图3，过点E作EM⊥BD于点M，EN⊥AC于点N，则EM + EN的值为________.

答案：
(1)4
(2)①$\frac{12}{5}$ ②$\frac{12}{5}$

4. 教材变式 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的一条角平分线.
(1)如图1，若AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E. 求证：四边形ADCE是矩形.

(2)如图2，若点E是△ABC外一点，连接AE，DE，CE. 四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.

答案： 4. 证明：
(1)
∵AB = AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°.
∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠CAN = $\frac{1}{2}$∠CAM.
∴∠DAE = ∠DAC + ∠CAN = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠CAM) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°.
∵CE⊥AN，
∴∠AEC = 90°.
∴∠ADC = ∠DAE = ∠AEC = 90°.
∴四边形ADCE是矩形.
(2)
∵AB = AC，AD平分∠BAC，
∴BD = CD.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD = AE，AE//CB.
∴AE = CD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB = DE.
∵AB = AC，
∴AC = DE.
∴四边形ADCE是矩形.