《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

3. 教材变式 已知△ABC是等腰三角形，AB = AC.
(1)如图1，D，E分别在AC，AB上，若BE = $\frac{1}{n}$AB，CD = $\frac{1}{n}$AC，那么BD和CE的数量关系为______.

(2)如图1，D，E分别在AC，AB上，若∠DBC = $\frac{1}{n}$∠ABC，∠ECB = $\frac{1}{n}$∠ACB，那么BD和CE的数量关系为______.
(3)如图2，AB = 5，BC = 6，AD平分∠BAC，则AD的长为______，过点B作BE⊥AC于点E，则BE的长为______.

拓展：如图3，在(3)的条件下，BE交AD于点F，连接CF并延长交AB于点G，判断CG与AB的位置关系，说明理由.

答案： 解：
(1)BD = CE
(2)BD = CE
(3)4 $\frac{24}{5}$
拓展：CG⊥AB. 理由如下：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC = 90°.
∵在△ABC中，AB = AC，AD平分∠BAC，
∴∠ABD = ∠ACD，BD = CD，AD⊥BC.
∴AD垂直平分线段BC.
∴FB = FC.
∴∠EBC = ∠GCB.
在△GCB和△EBC中，
∠GCB = ∠EBC，CB = BC，∠GBC = ∠ECB，
∴△GCB≌△EBC(ASA).
∴∠CGB = ∠BEC = 90°.
∴CG⊥AB.

4. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D是CA延长线上一点.
(1)若过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，求证：AF = AD.

(2)若点F是AB上一点，连接DF并延长交BC于点E，AD = AF，求证：DE⊥BC.

答案：
证明：
(1)如答图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，

∴∠AGB = 90°.
∵AB = AC，
∴△ABC是等腰三角形.
∴∠BAG = ∠CAG.
∵DE⊥BC，
∴∠DEB = 90°.
∴∠AGB = ∠DEB.
∴AG//DE.
∴∠BAG = ∠AFD，∠CAG = ∠D.
∴∠D = ∠AFD.
∴AD = AF.
(2)如答图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∴∠AGB = 90°.
∵AB = AC，
∴△ABC是等腰三角形.
∴∠BAG = ∠CAG.
∵AD = AF，
∴∠AFD = ∠D.
∵∠DAF + ∠D + ∠AFD = 180°，
∠DAF + ∠BAG + ∠CAG = 180°，
∴∠BAG = ∠AFD.
∴AG//DE.
∴∠DEB = ∠AGB = 90°.
∴DE⊥BC.