《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

4. 综合与实践
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G。试猜想线段BF和GC的数量关系，并说明理由。
数学思考：(1)请解答上述问题。
　　　
问题解决：(2)如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变。若AB = 6，BC = 8，求$\frac{BF}{GC}$的值。
　　
问题拓展：(3)在(2)的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积。
　　　　

答案：
解：
(1)BF = CG.
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC = ∠D = 90°，AB = CB = CD = AD.
∴∠BAC = ∠ACB = 45°，∠ACD = ∠DAC = 45°.
∵EF⊥AC，
∴∠FEC = 90°.
∴∠EFB = 90° - ∠ACF = 90° - 45° = 45°.
∴∠EFB = ∠ECF = ∠ECG.
∴EF = EC.
∵BE⊥EG，
∴∠BEG = 90°.
∴∠BEG = ∠FEC.
∴∠BEC + ∠CEG = ∠BEC + ∠FEB.
∴∠FEB = ∠CEG.
∴△BEF ≌ △GEC.
∴BF = CG.
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD = 90°.
∴∠BCE + ∠ACD = 90°.
∵EF⊥AC，
∴∠FEC = 90°.
∴∠BCE + ∠EFB = 90°，∠FEB + ∠BEC = 90°.
∴∠EFB = ∠ECG.
又
∵BE⊥EG，
∴∠CEG + ∠BEC = 90°.
∴∠FEB = ∠CEG.
∴△BFE ~ △GCE.
∴BF/GC = EF/EC.
∵在Rt△ABC中，tan∠ACB = AB/BC = 6/8 = 3/4，
∴在Rt△CEF中，tan∠ECF = 3/4，
∴EF/EC = 3/4.
∴BF/CG = 3/4.
(3)△CEG的面积为14/3.
点拨：如图析，过点E作EH⊥CD于点H.