《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

7. 在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E.
(1)如图1，过点E作EF⊥AD于点F，求证：四边形ABEF为正方形.

(2)如图2，点O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，求证：四边形ABEF为正方形.

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF = ∠ABE = 90°.
∵EF⊥AD，
∴∠AFE = 90°.
∴四边形ABEF为矩形.
∵AE平分∠BAD，
∴EF = EB.
∴四边形ABEF为正方形.
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AF//BE，∠BAF = ∠ABE = 90°.
∴∠OAF = ∠OEB，∠OFA = ∠OBE.
∵点O为AE的中点，
∴OA = OE.
∴△OAF≌△OEB.
∴OB = OF.
∴四边形ABEF为平行四边形.
∵∠BAF = 90°，AE平分∠BAD，
∴∠BAE = 45°.
∴∠AEB = ∠BAE = 45°.
∴AB = BE.
∴四边形ABEF为菱形.
∵∠ABE = 90°，
∴四边形ABEF为正方形.

考点四 中点四边形 5年2考
8. 教材变式 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点，连接EF，FG，GH，EH得到四边形EFGH，连接AC，BD.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.

(2)①当AC = BD时，求证：四边形EFGH是菱形.
②当四边形EFGH是矩形时，对角线AC与BD满足的条件是________.
③四边形EFGH的面积记为S1，四边形ABCD的面积记为S2，则S1与S2的关系为________.
变式：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，EH得到四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.

(2)①当AB = CD时，四边形EFGH是________.
②当四边形EFGH是矩形时，AB与CD满足的条件是________.

答案： 解：
(1)证明：
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF = $\frac{1}{2}$BD，EF//BD. 同理，GH = $\frac{1}{2}$BD，GH//BD.
∴EF = GH，EF//GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)①证明：
∵E，H分别是AD，CD的中点，
∴EH是△ACD的中位线.
∴EH = $\frac{1}{2}$AC.
由
(1)可得EF = $\frac{1}{2}$BD，四边形EFGH是平行四边形.
∵AC = BD，
∴EH = EF.
∴四边形EFGH是菱形.
②AC⊥BD
③$S_{1}=\frac{1}{2}S_{2}$
变式：
(1)证明：
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF = $\frac{1}{2}$AB，EF//AB. 同理，GH = $\frac{1}{2}$AB，GH//AB.
∴EF = GH，EF//GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)①菱形
②AB⊥CD

核心素养提升—问题解决
问题情境：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.
特例分析：(1)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A = 90°，对角线DB平分∠ADC. 求证：四边形ABCD为邻等四边形.

动手操作：(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D.

延伸探究：(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB = ∠ABC = 90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE//AC交DA的延长线于点E. 若AC = 8，DE = 10，则四边形EBCD的周长为________.

答案：
解：
(1)
∵AD//BC，∠A = 90°，
∴∠ABC = 180° - ∠A = 90°，∠ADB = ∠CBD.
∵对角线DB平分∠ADC，
∴∠ADB = ∠CDB.
∴∠CBD = ∠CDB.
∴CD = CB.
∴四边形ABCD为邻等四边形.
(2)如答图，$D_{1}$，$D_{2}$，$D_{3}$即为所求.

(3)38 - 6$\sqrt{2}$
点拨：如图析，过点C作CQ⊥AD交AD的延长线于点Q.

易证四边形AEBC为平行四边形，四边形ABCQ为矩形.
设BC = x，则在Rt△ACQ和Rt△DCQ中可得8² - x² = x² - (2x - 10)².
解得$x_{1}=10 - 3\sqrt{2}$，$x_{2}=10 + 3\sqrt{2}＞8$(舍去).
故四边形EBCD的周长为10 + 8 + 2(10 - 3$\sqrt{2}$) = 38 - 6$\sqrt{2}$.