《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2. (2024山西第9题)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为 ( )


A. y = 7.5x + 0.5
B. y = 7.5x - 0.5
C. y = 15x
D. y = 15x + 45.5

答案： A

3. 若反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k ≠ 0)的图象经过点B(-1,4)，则反比例函数的表达式为__________。

答案： $y = -\frac{4}{x}$

4. 已知变量x与变量y之间的对应值如下表：
|x|…|1|2|3|4|5|6|…|
|y|…|6|3|2|1.5|1.2|1|…|
思路分析
一次函数模型的变量是均值变化；正比例函数模型的变量是商为定值；反比例函数模型的变量是乘积为定值，根据表格中数据可判定函数符合反比例函数模型。
则变量y与x之间的函数关系式为__________。当x = $\frac{1}{2}$时，y = __________。

答案： $y = \frac{6}{x}$ 12

5. 已知二次函数y = ax² + bx + 13(a,b为常数,a ≠ 0)，自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

(1)求该抛物线的函数表达式。
一题多解
(2)将上述抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式为__________。
变式：(2021山西第10题)抛物线的函数表达式为y = 3(x - 2)² + 1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( )
A. y = 3(x + 1)² + 3 B. y = 3(x - 5)² + 3
C. y = 3(x - 5)² - 1 D. y = 3(x + 1)² - 1

答案：
(1) 一题多解方法一，把$(1,4)$，$(2,1)$代入$y = ax^2 + bx + 13(a\neq0)$中，得$\begin{cases}a + b + 13 = 4,\\4a + 2b + 13 = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 3,\\b = -12.\end{cases}$$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = 3x^2 - 12x + 13$。方法二，由表格可知抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 2)^2 + 1$，将$(0,13)$代入得$4a + 1 = 13$，解得$a = 3$，$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = 3(x - 2)^2 + 1$。
(2)$y = 3(x - 3)^2 - 2$ 变式：C

核心素养提升—问题解决
在平面直角坐标系中，已知抛物线y = ax² + bx + 1(a ≠ 0)，自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

(1)①求抛物线的函数表达式；
一题多解
②若直线l经过点(1,2)和(2,1)，求出直线l的函数表达式。
(2)在(1)的条件下，将抛物线y = ax² + bx + 1先向上平移2个单位，再向左平移m个单位使其顶点仍在直线l上，求出m的值。

答案：
(1) 一题多解①方法一，$\because$抛物线$y = ax^2 + bx + 1(a\neq0)$经过点$(1,2)$和$(2,1)$，$\therefore\begin{cases}a + b + 1 = 2,\\4a + 2b + 1 = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\b = 2.\end{cases}$$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -x^2 + 2x + 1$。方法二，由表格可知抛物线的顶点坐标为$(1,2)$，设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 1)^2 + 2$。将$(0,1)$代入得$a + 2 = 1$，解得$a = -1$。$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -(x - 1)^2 + 2$。②设直线$l$的函数表达式为$y = kx + n(k\neq0)$，$\because$直线$l$经过点$(1,2)$和$(2,1)$，$\therefore\begin{cases}2 = k + n,\\1 = 2k + n.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\n = 3.\end{cases}$$\therefore$直线$l$的函数表达式为$y = -x + 3$。
(2)$\because y = -x^2 + 2x + 1 = -(x - 1)^2 + 2$，$\therefore$顶点坐标为$(1,2)$。将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移$m$个单位后，得到的新的顶点坐标为$(1 - m,4)$。$\because$新的顶点坐标在直线$y = -x + 3$上，$\therefore$将点$(1 - m,4)$代入$y = -x + 3$中，得$4 = -(1 - m) + 3$，解得$m = 2$。