《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1. 如图，$\triangle ABC$为等边三角形，点$D,E$分别在边$BC,AB$上，$\angle ADE = 60^{\circ}$. 若$BD = 4DC,DE = 2.4$，则$AD$的长为（ ）
A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

答案： C

2. 如图，点$E$在矩形纸片$ABCD$的$AB$边上，将$\triangle ADE$沿$DE$翻折，点$A$恰好落在$BC$边上的点$F$处. 若$CD = 3BF,BE = 4$，则$AD$的长为（ ）
A. 9
B. 12
C. 15
D. 18

答案： C

3. 如图，在矩形$ABCD$中，点$E$为$AD$边上不与端点重合的一动点，点$F$是对角线$BD$上一点，连接$BE,AF$交于点$O$，且$\angle ABE = \angle DAF$.
(1)求证：$AF\bot BE$.
　　　　　
(2)若$AB = 2,AD = 3,DF = \frac{1}{2}BF$，求$DE$的长.

答案：
解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = 90°.
∵∠ABE = ∠DAF，
∴∠AOB = ∠BAF + ∠ABE = ∠BAF + ∠DAF = ∠BAD = 90°.
∴AF⊥BE.
(2)如答图，延长AF交CD于点G，

∵GD//AB，
∴∠FDG = ∠FBA，
∵∠DFG = ∠BFA，
∴△GDF∽△ABF.
∴$\frac{DG}{BA}=\frac{DF}{BF}$.
∵DF = $\frac{1}{2}$BF，AB = 2，AD = 3，
∴$\frac{DG}{2}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$.
∴DG = 1.
∵∠BAE = ∠ADG = 90°，∠ABE = ∠DAG，
∴△ABE∽△DAG.
∴$\frac{AE}{DG}=\frac{AB}{DA}=\frac{2}{3}$.
∴AE = $\frac{2}{3}$.
∴DE = AD - AE = 3 - $\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$.

1. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$BC$的中点，$DF\bot AE$，垂足为$F$. 若$AB = 6,BC = 4$，则$DF$的长为______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： $\frac{6\sqrt{10}}{5}$