《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

典例精讲 掌握通性通法
原创 如图1,抛物线y = x² + bx + c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).
(1)求抛物线的函数表达式.
　　　　　　
(2)①若点F是该抛物线的对称轴上的一个动点,当△ACF的周长最小时,求点F的坐标.
思路分析：轴对称与最值问题中,线段之和有最小,对称异侧连线找点;线段之差有最大,对称同侧连线找点.
　　　
②若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点,当BQ - CQ的值最大时,求出点Q的坐标.
　　
(3)如图2,若点P为第一象限抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的4倍？若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
　

答案：
解：
(1)
∵抛物线y = x² + bx + c经过点A(-1,0),C(0,-3)，
∴$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\c = -3.\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3.\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y = x² - 2x - 3.
(2)①如答图1，BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF.
　　　　　　　　　
∵点A与点B关于对称轴对称，
∴AF + CF = BF + CF.
当B,F,C三点共线时，AF + CF取得最小值，即AF + CF = BC.
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小.
∵y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1.
令y = 0，得x² - 2x - 3 = 0，解得x₁ = -1,x₂ = 3，
∴B(3,0).
设直线BC的表达式为y = kx + h(k≠0)，
把B(3,0),C(0,-3)代入，得$\begin{cases}3k + h = 0,\\h = -3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\h = -3.\end{cases}$
∴直线BC的函数表达式为y = x - 3.
当x = 1时，y = x - 3 = -2.
∴F(1,-2).
②如答图2，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接AC并延长，交抛物线的对称轴于点Q，
　　　　　　　　　　
此时BQ = AQ且BQ - CQ的值最大，即BQ - CQ = AC.
设直线AC的函数表达式为y = k₁x + h₁(k₁≠0)，
把A(-1,0),C(0,-3)代入，得$\begin{cases}-k₁ + h₁ = 0,\\h₁ = -3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k₁ = -3,\\h₁ = -3.\end{cases}$
∴直线AC的函数表达式为y = -3x - 3.
当x = 1时，y = -3×1 - 3 = -6.
∴点Q的坐标为(1,-6).
(3)存在.
设点P的坐标为(m,m² - 2m - 3)(m ＞ 3)，则点E的坐标为(m,m - 3).
∴PE = m² - 2m - 3 - (m - 3) = m² - 3m,DE = m - 3.
如答图3，过点P作PH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，
　　　　　　　　　
∴∠PHE = ∠DGE = 90°,PH = 4DG.
∵∠PEH = ∠DEG，
∴△PEH∽△DEG.
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{PH}{DG}=4$，即$\frac{m² - 3m}{m - 3}=4$.
解得m₁ = 3(舍),m₂ = 4.
当m = 4时，m² - 2m - 3 = 4² - 2×4 - 3 = 5.
∴点P的坐标为(4,5).