《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

5. 教材变式 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，CE，DE，连接AE并延长交CD于点F.
(1)∠BAE的度数为________.

(2)点E到BC的距离为________.
(3)DF的长为________.

答案：
(1)75°
(2)$\sqrt{3}$
(3)4 - 2$\sqrt{3}$

6. 原创 如图1，在正方形ABCD中，E是BC上的一个点，F为CD上的一个点，连接AE，BF，交于点G.
(1)当BF = AE时，求证：BF⊥AE.

变式：当BF⊥AE时，试判断BF = AE是否成立，并说明理由.
(2)如图2，在(1)的基础上，连接对角线AC，BD相交于点O，AE交BD于点H，BF交AC于点M，求证：OH = OM.

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE = ∠C = 90°，AB = BC.
∵AE = BF，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL).
∴∠BAE = ∠CBF.
∵∠ABF + ∠CBF = 90°，
∴∠BAE + ∠ABF = 90°.
∴∠AGB = 90°.
∴BF⊥AE.
变式：成立.
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE = ∠C = 90°，AB = BC.
∵AE⊥BF，
∴∠AGB = 90°.
∴∠BAE + ∠ABF = ∠CBF + ∠ABF.
∴∠BAE = ∠CBF.
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴AE = BF.
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA = OB.
∴∠AOH = ∠BOM = 90°.
∴∠OBM + ∠OMB = 90°.
∵BF⊥AE，
∴∠AGF = 90°.
∴∠OAH + ∠OMB = 90°.
∴∠OAH = ∠OBM.
∴△AOH≌△BOM(ASA).
∴OH = OM.