《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1. 如图，在△ABC中，AB = 6，BC = 8，点P为AB上一动点，过点P作PQ//BC交AC于点Q. 设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2.
(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
　　　
思路分析
主干等量关系：相似三角形对应边成比例，相似三角形的周长比等于相似比.
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质.
　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)结合函数图象，直接写出y1 ＞ y2时x的取值范围. (近似值保留一位小数，误差不超过0.2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵PQ//BC，
∴∠APQ = ∠B，∠AQP = ∠C，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PQ}{BC}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{y_{1}}{8}$，
∴$y_{1}=\frac{4}{3}x(0 ＜ x\leqslant6)$。
∵△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长 = AB：AP，
∴$y_{2}=\frac{6}{x}(0 ＜ x\leqslant6)$。
(2)在平面直角坐标系中画出函数$y_{1}$，$y_{2}$的图象如答图所示：

当$0 ＜ x\leqslant6$时，$y_{1}$随$x$的增大而增大；
$y_{2}$随$x$的增大而减小(答案不唯一，合理即可)。
(3)由函数图象得，当$y_{1}＞y_{2}$时，$x$的取值范围为$2.1 ＜ x\leqslant6$。