《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

提分训练 方法触类旁通
(2024省适应性一)综合与探究
如图1,已知抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.
(1)求抛物线的函数表达式,并直接写出点C的坐标.
　　
(2)如图2,点D是第二象限抛物线上的一个动点,过点D作y轴的垂线,与第一象限的抛物线交于点E,与直线BC交于点F,与y轴交于点P,点C关于直线DE的对称点为y轴上的点C'.设点D的横坐标为m.请探究如下问题:
①当点F是线段DE的中点时,线段CC'的长为________.
②当CC' = DE时,求m的值.
　　　
③试探究:点D在运动过程中,是否存在某一位置,使得∠C'AO = $\frac{1}{2}$∠ABC？若存在,请直接写出CC'的长;若不存在,请说明理由.
　　

答案：
解：
(1)将A(-1,0),B(4,0)代入y = -x² + bx + c中，
得$\begin{cases}-1 - b + c = 0,\\-16 + 4b + c = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 3,\\c = 4.\end{cases}$
∴该抛物线的函数表达式为y = -x² + 3x + 4.点C的坐标为(0,4).
(2)①3 ②
∵点D是抛物线y = -x² + 3x + 4上的一个动点，横坐标为m，
∴点D的坐标为(m,-m² + 3m + 4).
∵DE⊥y轴交y轴于点P，交抛物线于点E，
∴点P的纵坐标为-m² + 3m + 4.
∵点C(0,4)，
∴CP = 4 - (-m² + 3m + 4) = m² - 3m.
∵点C关于直线DE的对称点为点C'，
∴CC' = 2CP = 2m² - 6m.
∵点D和点E是抛物线上的一对对称点，即关于直线x = $\frac{3}{2}$对称，
∴DE = 2($\frac{3}{2}$ - m)=3 - 2m.
∵CC' = DE，
∴2m² - 6m = 3 - 2m.
解得m₁ = $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$,m₂ = $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$(舍).
∴m = $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$.
③存在.CC'的长为3 + $\sqrt{2}$或5 - $\sqrt{2}$.
点拨：如图析，作∠ABC的平分线BM，交y轴于点M，过M作MN⊥BC，交BC于点N.
　　　　　　　　
易得△MOB≌△MNB，
∴NB = OB = 4.
在Rt△COB中，根据勾股定理得CB = $\sqrt{CO² + OB²}$ = 4$\sqrt{2}$.
∴CN = CB - NB = 4$\sqrt{2}$ - 4.易得MN = CN = 4$\sqrt{2}$ - 4.
在Rt△MNB中，tan∠MBN = $\frac{MN}{NB}$ = $\frac{4\sqrt{2} - 4}{4}$ = $\sqrt{2}$ - 1.
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠MBN = $\frac{1}{2}$∠ABC.
根据题意得，tan∠C'AO = tan∠MBN，
∵tan∠C'AO = $\frac{C'O}{AO}$ = $\frac{C'O}{1}$ = C'O，
∴C'O = $\sqrt{2}$ - 1.
当点C'在x轴上方时，CC' = OC - C'O = 5 - $\sqrt{2}$；
当点C'在x轴下方时，CC' = OC + C'O = 3 + $\sqrt{2}$.
综上所述，CC'的长为5 - $\sqrt{2}$或3 + $\sqrt{2}$.