《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

阳光小组准备了两张矩形纸片ABCD和EFGH，其中AB = 6，AD = 8，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在AB，AD边上时，点F，H恰好为边AB，AD的中点. 然后将矩形纸片EFGH绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为α，连接BF，DH.
观察发现：（1）如图2，当α = 90°时，小组成员发现BF与DH存在一定的关系，其数量关系是____；位置关系是____.
探索猜想：（2）如图3，当90° ＜ α ＜ 180°时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由.
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

答案：
解：
(1)$BF = \frac{3}{4}DH$ $BF\perp DH$
(2)仍然成立。
理由如下：如答图，设BF与DH交于点P，DH与BA交于点Q。

∵四边形ABCD，EFGH均为矩形，
∴∠DAB = ∠HAF = 90°。
∴∠DAB + ∠BAH = ∠HAF + ∠BAH，即∠DAH = ∠BAF。
在图1中，点F，H分别为AB，AD的中点，$AB = 6$，$AD = 8$，
∴$AF = 3$，$AH = 4$。
∴$\frac{AF}{AH}=\frac{3}{4}$。
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AF}{AH}=\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AH}{AD}$。
∴△ABF∽△ADH。
∴∠ABF = ∠ADH，$\frac{BF}{DH}=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{4}$，即$BF = \frac{3}{4}DH$。
在Rt△ADQ中，
∵∠DAQ = 90°，
∴∠ADQ + ∠AQD = 90°。
又
∵∠AQD = ∠PQB，
∴∠ABF + ∠BQP = 90°。
∴∠BPQ = 90°。
∴$BF\perp DH$。