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1. (2025·江苏淮安淮阴区期中)已知关于x的方程$ax^{2}-3x+1= 0$是一元二次方程,则(
A. $a＞0$
B. $a≥0$
C. $a≠0$
D. $a= 1$
C
).A. $a＞0$
B. $a≥0$
C. $a≠0$
D. $a= 1$
答案：
C
2. 下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为(
A. $x^{2}+2xy+y^{2}= 0$
B. $x^{2}-2x+3= 0$
C. $x^{2}-\frac {1}{x}= 0$
D. $ax^{2}+bx+c= 0$
B
).A. $x^{2}+2xy+y^{2}= 0$
B. $x^{2}-2x+3= 0$
C. $x^{2}-\frac {1}{x}= 0$
D. $ax^{2}+bx+c= 0$
答案：
B
3. (2025·福建厦门期中)关于x的一元二次方程$3x^{2}-2x+5= 0$的二次项系数和一次项系数分别是(
A. 3,-2
B. 3,2
C. 3,5
D. 5,2
A
).A. 3,-2
B. 3,2
C. 3,5
D. 5,2
答案：
A [解析]方程$3x^{2}-2x+5=0$中,二次项系数为3,一次项系数为-2.故选A.
知识拓展 一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中$ax^{2}$叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项.
知识拓展 一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中$ax^{2}$叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项.
4. (山东德州双语中学自主招生)若方程$(m-3)x^{m^{2}-7}-x+3= 0$是关于x的一元二次方程,则m的值为(
A. $\pm 3$
B. 3
C. -3
D. 都不对
-3
).A. $\pm 3$
B. 3
C. -3
D. 都不对
答案：
C [解析]由一元二次方程的定义可知$\left\{\begin{array}{l} m^{2}-7=2,\\ m-3≠0,\end{array}\right. $解得$m=-3$.故选C.
5. 将一元二次方程$2x^{2}= 5x-3$化成一般形式之后,若二次项的系数是2,则一次项系数为
-5
.
答案：
-5 [解析]
∵一元二次方程$2x^{2}=5x-3$化成一般形式之后,二次项的系数是2,
∴化成的一般形式为$2x^{2}-5x+3=0$,
∴一次项系数为-5.
∵一元二次方程$2x^{2}=5x-3$化成一般形式之后,二次项的系数是2,
∴化成的一般形式为$2x^{2}-5x+3=0$,
∴一次项系数为-5.
6. 教材P3例·变式 把方程$(x+2)(x-3)= 2x-6$化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
答案：
将$(x+2)(x-3)=2x-6$化简,得$x^{2}-3x=0$.所以它的二次项系数是1,一次项系数是-3,常数项是0.
易错警示 要确定二次项系数、一次项系数和常数项,首先要把一元二次方程化成一般形式.注意在说明二次项系数、一次项系数和常数项时,一定要带上前面的符号.
易错警示 要确定二次项系数、一次项系数和常数项,首先要把一元二次方程化成一般形式.注意在说明二次项系数、一次项系数和常数项时,一定要带上前面的符号.
7. (2025·河南商丘期中)下列方程中,一定是一元二次方程的是(
A. $ax^{2}= 0$
B. $x^{2}-4= 0$
C. $x^{2}-\frac {2}{x}= 0$
D. $xy+x^{2}= 10$
B
).A. $ax^{2}= 0$
B. $x^{2}-4= 0$
C. $x^{2}-\frac {2}{x}= 0$
D. $xy+x^{2}= 10$
答案：
B
8. (2025·江苏宿迁期中)若关于x的一元二次方程$(m+3)x^{2}-4x+mx+|m|+3= 0$的常数项是6,则一次项是(
A. -x
B. -1
C. x
D. 1
-x
).A. -x
B. -1
C. x
D. 1
答案：
A [解析]
∵关于x的一元二次方程$(m+3)x^{2}-4x+mx+|m|+3=0$的常数项是6,$\therefore |m|+3=6,m+3≠0$,解得$m=3$,把$m=3$代入原方程可得$6x^{2}-x+6=0$,
∴一次项是-x.故选A.
易错警示 二次项系数含有参数的一元二次方程,一定要注意二次项系数不能为0,否则易出错.
∵关于x的一元二次方程$(m+3)x^{2}-4x+mx+|m|+3=0$的常数项是6,$\therefore |m|+3=6,m+3≠0$,解得$m=3$,把$m=3$代入原方程可得$6x^{2}-x+6=0$,
∴一次项是-x.故选A.
易错警示 二次项系数含有参数的一元二次方程,一定要注意二次项系数不能为0,否则易出错.
9. 新情境 智慧春耕 (2024·眉山中考)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了水稻亩产量,水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克,该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列方程为(
A. $670×(1+2x)= 780$
B. $670×(1+x)^{2}= 780$
C. $670×(1+x^{2})= 780$
D. $670×(1+x)= 780$
B
).A. $670×(1+2x)= 780$
B. $670×(1+x)^{2}= 780$
C. $670×(1+x^{2})= 780$
D. $670×(1+x)= 780$
答案：
B [解析]利用2021年的水稻亩产量$×(1+$年平均增长率$x)^{2}=2023$年的水稻亩产量,得$670×(1+x)^{2}=780$.故选B.
延伸拓展 有关增长(下降)率问题的公式为:设基数为a,增长(下降)率为x,增长(下降)的次数为n,增长(下降)后的量为b,则有$a(1\pm x)^{n}=b$.
延伸拓展 有关增长(下降)率问题的公式为:设基数为a,增长(下降)率为x,增长(下降)的次数为n,增长(下降)后的量为b,则有$a(1\pm x)^{n}=b$.
10. 实验班原创 已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}+(a^{2}-1)x-2025= 0$的一次项系数为0,则a的值为
-1
.
答案：
-1 [解析]由题意,得$a-1≠0$且$a^{2}-1=0$,解得$a=-1$.
11. 关于x的一元二次方程$2(x-1)^{2}+b(x-1)+c= 0$化为一般形式后为$2x^{2}-3x-1= 0$,试求b,c的值.
b的值为
b的值为
1
，c的值为-2
.
答案：
原方程可化为$2(x^{2}-2x+1)+bx-b+c=0$,化简,得$2x^{2}+(b-4)x+2-b+c=0$,所以$b-4=-3,2-b+c=-1$,解得$b=1,c=-2$.
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