《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

课前预习
(1) 两点之间，______最短。
(2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，______最短。
(3) 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而得出最短路径。

答案：
(1) 线段
(2) 垂线段
(3) （无需解析）

【例1】如图，村庄$A$，$B$在一条笔直的公路$l$的同侧，现要在公路上修建一个供应站，使供应站到两村庄之间的距离之和最短，应将供应站修建在哪里？请依据轴对称的性质作出符合要求的点，并写出证明过程。

答案： （作图略，作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$交直线$l$于点$C$，点$C$即为所求）
证明：在直线$l$上任取一点$C'$（不与$C$重合），连接$AC$，$AC'$，$A'C'$，$BC'$。
因为点$A$与$A'$关于直线$l$对称，所以$AC = A'C$，$AC'=A'C'$。
所以$AC + BC=A'C + BC=A'B$，$AC' + BC'=A'C' + BC'$。
因为$A'B\lt A'C' + BC'$，所以$AC + BC\lt AC' + BC'$，即点$C$到$A$，$B$的距离之和最短。

【变式训练】
1. 小王准备在某街道旁建一个送奶站$C$，向居民区$A$，$B$提供牛奶，要使$A$，$B$两居民区到送奶站的距离之和最小，则送奶站$C$的位置应该在（ ）。
A.
B.
C.
D.

答案： A
解析：根据两点之间线段最短，作点$A$关于街道的对称点$A'$，连接$A'B$与街道交于点$C$，此时$AC + BC$最小，对应选项A。

2. 如图，等腰三角形$ABC$的底边$BC$长为 6，面积是 30，腰$AC$的垂直平分线$EF$分别交$AC$，$AB$于点$E$，$F$，若点$D$为边$BC$的中点，点$M$为线段$EF$上一动点，则$\triangle CDM$周长的最小值为______。

答案： 11
解析：连接$AD$，因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以点$A$与点$C$关于$EF$对称，所以$AM = CM$。
$\triangle CDM$的周长为$CD + DM + CM=CD + DM + AM$，当$A$，$M$，$D$三点共线时，周长最小，最小值为$CD + AD$。
$BC = 6$，$D$为$BC$中点，所以$CD = 3$。
面积为 30，所以$AD=\frac{2×30}{6}=10$，则最小值为$3 + 10=13$（原答案 11 错误，经修正应为 13）。

3. 如图，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，在$x$轴上找一点$P$，使$PA + PB$的值最小，则点$P$的坐标为______。

答案： (2,0)
解析：作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(1,-1)$，设直线$A'B$的解析式为$y = kx + b$，将$A'(1,-1)$，$B(4,2)$代入得$\begin{cases}k + b=-1\\4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b=-2\end{cases}$，所以$y=x - 2$。
令$y = 0$，则$x = 2$，所以点$P$的坐标为$(2,0)$。