《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

活动1 月历中的奥秘(续)
【例1】如图是2025年11月的月历，一个长方形框住了四个数字，我们作如下计算：$4×12 = 48$, $5×11 = 55$, $55-48 = 7$. 请你用一个长方形另圈4个数字，按相同方法计算，你有什么发现？
【变式训练】
1. 请用整式的运算证明例1中的规律(提示：可设最小的一个数是$n$). 你还能发现对角线上的这两对数有其他规律吗？
活动2 和为定值的两数积的规律
【例2】计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值)，你发现结果有什么规律？
①$50×50$, $53×47$, $74×26$, $91×9$；
②$30×30$, $35×25$, $43×17$, $52×8$.
【变式训练】
2. 若两数的和为定值$2n$, 你能用整式的运算说明例2中的这一规律吗？
3. 请用上面发现的规律解决问题：用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？

答案： 活动1 例1：另圈如2,3,9,10，计算$2×10 = 20$，$3×9 = 27$，$27-20 = 7$，发现结果均为7。
变式训练1：设最小数为$n$，则四个数为$n$，$n + 1$，$n + 7$，$n + 8$，$(n + 1)(n + 7)-n(n + 8)=n^2 + 8n + 7-(n^2 + 8n)=7$。对角线上两数之和相等，即$n+(n + 8)=(n + 1)+(n + 7)$。
活动2 例2：①$50×50 = 2500$，$53×47 = 2491$，$74×26 = 1924$，$91×9 = 819$；②$30×30 = 900$，$35×25 = 875$，$43×17 = 731$，$52×8 = 416$。规律：两数和一定时，两数差越小，积越大；差为0时积最大。
变式训练2：设两数为$n + d$，$n - d$，积$(n + d)(n - d)=n^2-d^2$，$d$越小，积越大，$d = 0$时积最大为$n^2$。
3. 最大面积$\frac{25}{4}m^2$，此时邻边相等（正方形）。结论：周长一定的长方形，正方形时面积最大。