《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

8. 计算:
(1)$102^{2}-97×103$;
(2)$(x + y)(-x + y)(x^{2}-y^{2})$.

答案：
(1)9
解析：$102^2 - 97×103$
$=102^2 - (100 - 3)(100 + 3)$
$=10404 - (10000 - 9)$
$=10404 - 9991$
$=9$
(2)$-(x^{2}-y^{2})^{2}$
解析：$(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$

9. 先化简,再求值:
$(x - 1)^{2}+(x - 3)(x + 3)-2(x - 5)$，其中$x=-2$.

答案： 15
解析：$(x - 1)^2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x - 5)$
$=x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10$
$=2x^2 - 4x + 2$
当$x = -2$时，
$2×(-2)^2 - 4×(-2) + 2$
$=2×4 + 8 + 2$
$=8 + 8 + 2$
$=18$

10. 张老师在黑板上布置了一道题:
求$2(x + 1)^{2}-(4x - 5)$的值.
小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁的说法正确?请说明理由.
小亮：我发现当$x=a$和$x=-a$时，这个式子的值始终是相等的.
小新：不可能，对于不同的$x$值，应该有不同的结果.

答案： 小亮的说法正确
解析：$2(x + 1)^2 - (4x - 5)$
$=2(x^2 + 2x + 1) - 4x + 5$
$=2x^2 + 4x + 2 - 4x + 5$
$=2x^2 + 7$
因为化简结果为$2x^2 + 7$，$x=a$和$x=-a$时，$x^2$的值相等，所以式子的值始终相等，小亮的说法正确。

11. (运算能力)阅读理解.
已知$(a - 12)^{2}+(14 - a)^{2}=6$，求$(a - 13)^{2}$的值.
解:由$(a - 12)^{2}+(14 - a)^{2}=6$，得$[(a - 13)+1]^{2}+[(a - 13)-1]^{2}=6$.
整理,得$(a - 13)^{2}+2(a - 13)+1+(a - 13)^{2}-2(a - 13)+1=6$.
$2(a - 13)^{2}+2=6$,
得$(a - 13)^{2}=2$.
请仿照上述方法,完成下列问题:
(1)已知$(a - 98)^{2}+(96 - a)^{2}=10$，求$(a - 97)^{2}$的值;
(2)已知$(a - 2024)^{2}=8$，求$(a - 2025)^{2}+(2023 - a)^{2}$的值.

答案：
(1)3
解析：设$b = a - 97$，则$a - 98 = b - 1$，$96 - a = - (b + 1)$，
原式变为$(b - 1)^2 + (- (b + 1))^2 = 10$
$(b^2 - 2b + 1) + (b^2 + 2b + 1) = 10$
$2b^2 + 2 = 10$
$2b^2 = 8$
$b^2 = 4$，即$(a - 97)^2 = 4$
(2)10
解析：设$c = a - 2024$，则$a - 2025 = c - 1$，$2023 - a = - (c + 1)$，
$(c - 1)^2 + (- (c + 1))^2$
$= c^2 - 2c + 1 + c^2 + 2c + 1$
$= 2c^2 + 2$
因为$c^2 = (a - 2024)^2 = 8$，所以$2×8 + 2 = 18$，即值为18。