《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

6. 下列式子中，变形正确的是（ ）.
A. $\frac{-x + y}{-x - y}=\frac{x - y}{x + y}$
B. $\frac{a + b}{a + b}=0$
C. $\frac{ab - 1}{ac - 1}=\frac{b - 1}{c - 1}$
D. $\frac{a + m}{b + m}=\frac{a}{b}$

答案： A
解析：A. 分子分母同时乘-1，$\frac{-x + y}{-x - y}=\frac{x - y}{x + y}$，A正确。
B. $\frac{a + b}{a + b}=1$（$a + b≠0$），B错误。
C. 分子分母同时减1，不符合分式基本性质，C错误。
D. 分子分母同时加$m$，不符合分式基本性质，D错误。

7. （易错题）若把分式$\frac{x^2y^2}{x + y}$中$x,y$同时扩大到原来的10倍，则分式的值将（ ）.
A. 扩大到原来的10倍
B. 扩大到原来的100倍
C. 扩大到原来的10000倍
D. 扩大到原来的1000倍

答案： D
解析：$x,y$扩大到原来的10倍后，分式变为$\frac{(10x)^2(10y)^2}{10x + 10y}=\frac{100x^2×100y^2}{10(x + y)}=\frac{10000x^2y^2}{10(x + y)}=1000×\frac{x^2y^2}{x + y}$，值扩大到原来的1000倍，D正确。

8. 下列分式的变形：①$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}(c≠0)$；②$\frac{-a - b}{a + b}=-1$；③$\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b}=\frac{5a + b}{2a - 3b}$；④$\frac{x - y}{x + y}=\frac{y - x}{y + x}$其中错误的是______.（填序号）

答案： ③④
解析：①$c≠0$时，$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$，①正确。
②$\frac{-a - b}{a + b}=\frac{-(a + b)}{a + b}=-1$（$a + b≠0$），②正确。
③分子分母同时乘10，得$\frac{5a + 10b}{2a - 3b}≠\frac{5a + b}{2a - 3b}$，③错误。
④$\frac{x - y}{x + y}=\frac{-(y - x)}{x + y}=-\frac{y - x}{y + x}≠\frac{y - x}{y + x}$，④错误。错误的是③④。

9. 对分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$的变形，甲同学的做法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b}=\frac{(a + b)(a - b)}{a + b}=a - b$；乙同学的做法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b}=\frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{a^2 - b^2}=a - b$. 请根据分式的基本性质，判断甲、乙两位同学的解法是否正确.

答案： 甲正确，乙错误
解析：甲同学：分子分解因式后与分母约去公因式$a + b$（$a + b≠0$），符合分式基本性质，正确。
乙同学：分子分母同时乘$a - b$，但当$a - b=0$时，不符合分式基本性质中“乘同一个不等于0的整式”的条件，所以乙错误。

10. （推理能力、运算能力）阅读下面解题过程.
题目：已知$\frac{x}{a - b}=\frac{y}{b - c}=\frac{z}{c - a}$（$a,b,c$互不相等），求$x + y + z$的值.
解：设$\frac{x}{a - b}=\frac{y}{b - c}=\frac{z}{c - a}=k$，
则$x=k(a - b),y=k(b - c),z=k(c - a)$.
$\therefore x + y + z=k(a - b + b - c + c - a)=k·0=0$.
$\therefore x + y + z=0$.
仿照上述方法解答下列问题：
已知$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}$，其中$x + y + z≠0$，求$\frac{x + y - z}{x + y + z}$的值.

答案： $\frac{1}{3}$
解析：设$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}=k$，则$y + z=kx$，$z + x=ky$，$x + y=kz$。三式相加得$2(x + y + z)=k(x + y + z)$，因为$x + y + z≠0$，所以$k=2$。则$x + y=2z$，所以$\frac{x + y - z}{x + y + z}=\frac{2z - z}{2z + z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$。