《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

7. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC和∠ACB的平分线分别为BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，则有以下结论：①∠BPC=120°；②AD=AE；③∠DAP=30°。其中正确的为（ ）。
A. ①③
B. ②③
C. ①②
D. ①②③

答案： A
①
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°，故①正确，
③
∵P是角平分线交点，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，故③正确，
②无法证明AD=AE，故②错误，
正确的有①③。

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O在BD上，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，OE=OF，连接OA。
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，AB=13，求OE的长。

答案： （1）
∵OE⊥BC，OF⊥AC，OE=OF，
∴点O在∠ACB的平分线上，
∵BD平分∠ABC，
∴点O到AB，BC的距离相等，
∵点O到AC，BC的距离相等，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）设OE=OF=OD=x（D为O到AB的垂足），
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
$\frac{1}{2}× 5× 12=\frac{1}{2}× 13× x+\frac{1}{2}× 12× x+\frac{1}{2}× 5× x$，
30=$\frac{13x+12x+5x}{2}$，
30=$\frac{30x}{2}$，
30=15x，
x=2，
即OE=2。

9. （推理能力）如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点。
（1）求证：PM=PN；
（2）OM+ON的值是否为定值？请说明理由。

答案： （1）过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle PEM=\angle PFN\\ PE=PF\\ \angle EPM=\angle FPN\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PM=PN；
（2）是定值，
由（1）知△PEM≌△PFN，
∴EM=FN，
∵OE=OF（角平分线性质），
∴OM+ON=（OE+EM）+（OF-FN）=OE+OF=2OE，
∵P为定点，OP为定角平分线，
∴OE为定值，
∴OM+ON为定值。