《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

8.(原创题)下列计算中，正确的是( ).
A.$(a + b)(a + b)=a^{2}+b^{2}$
B.$(x + 2y)(x - 2y)=x^{2}-2y^{2}$
C.$(-3x - 4)(3x - 4)=9x^{2}-16$
D.$(2a - b)(2a + b)=4a^{2}-b^{2}$

答案： D
解析：A.$(a + b)(a + b)=a^{2}+2ab + b^{2}$，故A错误；
B.$(x + 2y)(x - 2y)=x^{2}-4y^{2}$，故B错误；
C.$(-3x - 4)(3x - 4)=16 - 9x^{2}$，故C错误；
D.$(2a - b)(2a + b)=4a^{2}-b^{2}$，故D正确.
故选D.

9.计算：$(m^{2}+1)(m + 1)(m - 1)-(m^{4}+1)$的值是( ).
A.$-2m^{2}$
B.0
C.-2
D.-1

答案： B
解析：$(m^{2}+1)(m + 1)(m - 1)-(m^{4}+1)=(m^{2}+1)(m^{2}-1)-(m^{4}+1)=m^{4}-1 - m^{4}-1=-2$，故选C.

10.计算$(x^{2}+\frac{1}{4})(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$，结果为______.

答案： $x^{4}-\frac{1}{16}$
解析：$(x^{2}+\frac{1}{4})(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=(x^{2}+\frac{1}{4})(x^{2}-\frac{1}{4})=x^{4}-\frac{1}{16}$

12.观察下列等式：
①$3^{2}-1^{2}=8$；②$5^{2}-3^{2}=16$；③$7^{2}-5^{2}=24$；④$9^{2}-7^{2}=32$；…
(1)写出第n个等式(n是正整数)；
(2)说明你所写的等式的正确性.

答案：
(1)$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$
解析：
(1)第n个等式为$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$
(2)证明：$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=(4n^{2}+4n + 1)-(4n^{2}-4n + 1)=8n$，等式成立

13.(运算能力)小明遇到下面一个问题：
计算$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$.
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以运用平方差公式解答问题，具体解法如下：
$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{8}-1)(2^{8}+1)$
$=2^{16}-1$.
请你根据小明解答问题的方法，试着解答以下问题：
(1)$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)=$______；
(2)$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)=$______；
(3)$(7 + 1)(7^{2}+1)(7^{4}+1)(7^{8}+1)(7^{16}+1)=$______.

答案：
(1)$2^{32}-1$
解析：$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)=2^{32}-1$
(2)$\frac{3^{32}-1}{2}$
解析：$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)=\frac{1}{2}(3^{32}-1)$
(3)$\frac{7^{32}-1}{6}$
解析：$(7 + 1)(7^{2}+1)(7^{4}+1)(7^{8}+1)(7^{16}+1)=\frac{1}{6}(7 - 1)(7 + 1)(7^{2}+1)(7^{4}+1)(7^{8}+1)(7^{16}+1)=\frac{1}{6}(7^{32}-1)$