《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

11. 如图（1），油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图（2），伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两根伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB=AC．
（1）当点D在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两根伞骨BD和CD相等吗？请说明理由．
（2）如图（3），当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一条直线上．若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度数．

答案： （1）相等，理由见解析；（2）110°
解析：（1）相等，理由如下：
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD=CD；
（2）
∵∠BAC=140°，AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=70°，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠MBD=120°，∠MBD + ∠ABD=180°，
∴∠ABD=60°，
∴∠ACD=60°，在△ACD中，∠CDA=180° - ∠CAD - ∠ACD=180° - 70° - 60°=50°．

12.（类比探究）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE．
（1）如图（1），连接BD，点E在BC上，求证：BC=BD + BE．
（2）如图（2），点E在CB的延长线上，（1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出成立的式子，并证明．

答案： （1）证明见解析；（2）不成立，BC=BD - BE，证明见解析
解析：（1）
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠BAE=∠DAE - ∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD，
∵BC=BE + CE，
∴BC=BE + BD；
（2）不成立，BC=BD - BE，证明如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC + ∠BAE=∠DAE + ∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD，
∵BC=CE - BE，
∴BC=BD - BE．