《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

1. 分式的约分
(1)定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的______约去，叫作分式的______.
(2)最简分式：分子与分母没有______的分式，叫作最简分式.
2. 分式的通分
(1)定义：根据分式的基本性质，把几个______的分式分别化成与原来的分式相等的______的分式，叫作分式的通分.
(2)最简公分母：一般取各分母的所有因式的最______次幂的积作公分母，它叫作最简公分母.

答案： 1.
(1)公因式；约分；
(2)公因式
2.
(1)异分母；同分母；
(2)高
解析：1.
(1)分式约分是约去分子与分母的公因式。
(2)最简分式分子与分母无公因式。
2.
(1)通分是把异分母分式化为同分母分式。
(2)最简公分母取各分母所有因式最高次幂的积。

【例1】约分：
(1)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$；(2)$\frac{a^2b - 5ab}{a^2 - 25}$.

答案：
(1)$-\frac{2a}{b^2c}$
解析：分子分母公因式为$5a^2bc$，约分后得$\frac{10a^3bc÷5a^2bc}{-5a^2b^3c^2÷5a^2bc}=-\frac{2a}{b^2c}$。
(2)$\frac{ab}{a + 5}$
解析：分子$a^2b - 5ab=ab(a - 5)$，分母$a^2 - 25=(a + 5)(a - 5)$，约去公因式$a - 5$（$a≠5$），得$\frac{ab}{a + 5}$。

【变式1】约分：
(1)$\frac{24a^2b}{-4ab}$；(2)$\frac{2a^2 - ab}{2a^2b - ab^2}$.

答案：
(1)$-6a$
解析：分子分母公因式为$4ab$，约分后得$\frac{24a^2b÷4ab}{-4ab÷4ab}=-6a$。
(2)$\frac{1}{b}$
解析：分子$2a^2 - ab=a(2a - b)$，分母$2a^2b - ab^2=ab(2a - b)$，约去公因式$a(2a - b)$（$a≠0,2a≠b$），得$\frac{1}{b}$。

【例2】通分：
(1)$\frac{a - b}{a^2b}$，$\frac{2a - b}{a^3}$；
(2)$\frac{2}{3x^2(x - y)}$，$\frac{1}{2x - 2y}$，$\frac{3}{4xy^2}$.

答案：
(1)$\frac{(a - b)a}{a^3b}$，$\frac{(2a - b)b}{a^3b}$
解析：最简公分母为$a^3b$。$\frac{a - b}{a^2b}=\frac{(a - b)·a}{a^2b·a}=\frac{a(a - b)}{a^3b}$；$\frac{2a - b}{a^3}=\frac{(2a - b)·b}{a^3·b}=\frac{b(2a - b)}{a^3b}$。
(2)$\frac{8y^2}{12x^2y^2(x - y)}$，$\frac{6x y^2}{12x^2y^2(x - y)}$，$\frac{9x(x - y)}{12x^2y^2(x - y)}$
解析：先将分母因式分解，$2x - 2y=2(x - y)$，最简公分母为$12x^2y^2(x - y)$。
$\frac{2}{3x^2(x - y)}=\frac{2×4y^2}{3x^2(x - y)×4y^2}=\frac{8y^2}{12x^2y^2(x - y)}$；
$\frac{1}{2(x - y)}=\frac{1×6x^2y^2}{2(x - y)×6x^2y^2}=\frac{6x^2y^2}{12x^2y^2(x - y)}$（原解析中分子应为$6x^2y^2$，修正后）；
$\frac{3}{4xy^2}=\frac{3×3x(x - y)}{4xy^2×3x(x - y)}=\frac{9x(x - y)}{12x^2y^2(x - y)}$。

【变式2】通分：
(1)$\frac{4a}{5b^2c}$，$\frac{3c}{10a^2b}$，$\frac{5b}{-2ac^2}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - 4}$，$\frac{3}{4 - 2x}$.

答案：
(1)$\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$，$\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$，$-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$
解析：最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
$\frac{4a}{5b^2c}=\frac{4a×2a^2c}{5b^2c×2a^2c}=\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{3c}{10a^2b}=\frac{3c×bc^2}{10a^2b×bc^2}=\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{5b}{-2ac^2}=-\frac{5b×5ab^2}{2ac^2×5ab^2}=-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$。
(2)$\frac{2}{2(x + 2)(x - 2)}$，$-\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)}$
解析：分母因式分解，$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$，$4 - 2x=-2(x - 2)$，最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)$。
$\frac{1}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{2}{2(x + 2)(x - 2)}$；
$\frac{3}{-2(x - 2)}=-\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)}$。