《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

15. 如图,在$\triangle ABC$中,点D在BC上,$\angle ADB=\angle BAC$,BE平分$\angle ABC$,交AD于点H,交AC于点E.过点E作$EF// AD$,交BC于点F.
(1)求证:$\angle BAD=\angle C$;
(2)若$\angle C = 20^{\circ}$,$\angle BAC = 110^{\circ}$,求$\angle BEF$的度数.

答案：
(1)因为$\angle ADB=\angle BAC$，$\angle ADB=\angle BAD+\angle ABD$，$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$，所以$\angle ABD=\angle DAC$，又因为$\angle ADB=\angle BAC$，所以$\triangle ABD\sim\triangle BAC$，则$\angle BAD=\angle C$。
(2)因为$\angle BAC = 110^{\circ}$，$\angle C = 20^{\circ}$，所以$\angle ABC=50^{\circ}$，BE平分$\angle ABC$，则$\angle ABE=25^{\circ}$，$\angle AEB=180^{\circ}-110^{\circ}-25^{\circ}=45^{\circ}$，因为$EF// AD$，所以$\angle BEF=\angle AEB=45^{\circ}$

16. 在$\triangle ABC$中,AD是$\angle BAC$的平分线,AE是$\triangle ABC$的高.
(1)如图(1),若$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 60^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数;
(2)如图(2)($\angle B\lt\angle C$),试说明$\angle DAE$与$\angle B$,$\angle C$的数量关系.

答案：
(1)$\angle BAC=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$，AD平分$\angle BAC$，则$\angle BAD=40^{\circ}$，$\angle BAE=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD=10^{\circ}$。
(2)$\angle DAE=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$