《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

15. 先化简,再求值:$a^{3}\cdot (-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}$,其中$a=\frac {1}{4},b=-4.$

答案： $-\frac{5}{2}$
解析：$a^{3}\cdot (-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}=a^{3}b^{6}-\frac {1}{8}a^{3}b^{6}=\frac {7}{8}a^{3}b^{6}$，
当$a=\frac {1}{4},b=-4$时，
原式$=\frac {7}{8}×(\frac {1}{4})^{3}×(-4)^{6}=\frac {7}{8}×\frac {1}{64}×4096=\frac {7}{8}×64=56$

16. 尝试解答下列有关幂的问题：(1)若$4×16^{x}=2^{22}$,求$x$的值;

答案： $x=5$
解析：$4×16^{x}=2^{2}×(2^{4})^{x}=2^{2}×2^{4x}=2^{2+4x}=2^{22}$，则$2+4x=22$，解得$x=5$

16. 尝试解答下列有关幂的问题：(2)$M=2×9^{x}-3×3^{x}+5,N=9^{x}-3^{x}-1$,请比较$M$与$N$的大小. [提示:设$3^{x}=t.t^{2}-2t+1=(t-1)^{2},(t-1)^{2}≥0.]$

答案： $M≥N$
解析：设$3^{x}=t(t＞0)$，则$9^{x}=t^{2}$，
$M=2t^{2}-3t+5$，$N=t^{2}-t-1$，
$M - N=2t^{2}-3t+5-(t^{2}-t-1)=t^{2}-2t+6=(t - 1)^{2}+5$，
因为$(t - 1)^{2}≥0$，所以$(t - 1)^{2}+5≥5＞0$，即$M - N＞0$，所以$M＞N$

17.（运算能力）阅读下列两则材料,解答问题.
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:$\because 4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$,且$3＞2,\therefore 3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}.$
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解:$\because 8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$,且$8＞6,\therefore 2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}.$
小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
【方法运用】(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小;

答案： $3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$
解析：$3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11}$，$5^{22}=(5^{2})^{11}=25^{11}$，
因为$81＞64＞25$，所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$

17.【方法运用】(2)比较$81^{31},27^{41},9^{61}$的大小;

答案： $81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$
解析：$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，
因为$124＞123＞122$，所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$

17.【方法运用】(3)已知$a^{2}=2,b^{3}=3$,比较$a,b$的大小;

答案： $a＜b$
解析：$a^{2}=2$，则$a^{6}=(a^{2})^{3}=2^{3}=8$，$b^{3}=3$，则$b^{6}=(b^{3})^{2}=3^{2}=9$，
因为$8＜9$，所以$a^{6}＜b^{6}$，又因为$a,b$均为正数，所以$a＜b$

17.【方法运用】(4)比较$3^{12}×5^{10}$与$3^{10}×5^{12}$的大小.

答案： $3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$
解析：$3^{12}×5^{10}=3^{10}×3^{2}×5^{10}=3^{10}×5^{10}×9=(3×5)^{10}×9=15^{10}×9$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10}×5^{2}=15^{10}×25$，
因为$9＜25$，所以$15^{10}×9＜15^{10}×25$，即$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$