《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

5. 如图,点A,C,D,B在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.

答案：
(1)在△ACE和△BDF中，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，
∴△ACE≌△BDF（AAS）。
(2)
∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD=2。
∵AB=8，
∴AD=AB-BD=6，
∴CD=AD-AC=6-2=4。

6. 如图,AC=AD,∠C=∠CAD,∠B+∠CED=180°. 求证:△ABC≌△DEA.

答案：
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC。
∵∠C=∠CAD，∠C+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠ACD=（180°-∠C）/2=∠C，
∴∠C=∠CAD=60°，∠ADC=60°，∠DAE=∠CAD=60°=∠C。
∵∠B+∠CED=180°，∠CED+∠DEA=180°，
∴∠B=∠DEA。
在△ABC和△DEA中，∠B=∠DEA，∠C=∠DAE，AC=AD，
∴△ABC≌△DEA（AAS）。

7. 如图,已知AD,AF分别是△ABC和△ABE的高,AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE.

答案：
∵AD，AF是高，
∴∠ADC=∠AFE=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，AC=AE，AD=AF，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴CD=EF。
在Rt△ABD和Rt△ABF中，AB=AB，AD=AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），
∴BD=BF。
∴BD+CD=BF+EF，即BC=BE。

8. 如图,AD是△ABC中边BC上的中线,AB=7,AC=5. 求AD的取值范围.

答案： 延长AD至E使DE=AD，连接BE。
∵AD是中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=5。
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即7-5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6。