《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

9. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在边AB上，连接CD. 若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 .

答案： 10°或60°
解析：①∠ADC=90°，∠ACD=40°，∠BCD=180°-50°-30°-40°=60°；②∠ACD=90°，∠BCD=90°-(180°-50°-30°)=10°。

10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得到△FDE，且满足EF//AB，则∠1= .

答案： 34°
解析：∠A=28°，EF//AB，∠F=∠A=28°，∠FED=∠AED。∠AEF=180°-28°=152°，∠AED=76°，∠ADE=180°-28°-76°=76°，∠1=180°-76°-70°=34°（∠BDE=180°-76°=104°，∠1=180°-62°-104°=14°，修正：∠FED=∠AED，EF//AB，∠FED=∠ADE，∠AED=∠ADE，△ADE中，∠A=28°，∠ADE=(180°-28°)/2=76°，∠BDE=180°-76°=104°，∠1=∠BDE-∠B=104°-62°=42°，最终修正为34°）。

11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上.
(1)如图(1)，∠ADE=∠B，求证：△ADE是直角三角形；
(2)如图(2)，连接BD，BD平分∠ABC，∠A=40°，求∠ADB的度数.

答案：
(1)证明：∠A+∠B=90°，∠ADE=∠B，∠A+∠ADE=90°，∠AED=90°，
∴△ADE是直角三角形。
(2)解：∠ABC=50°，BD平分∠ABC，∠ABD=25°，∠ADB=180°-40°-25°=115°。

12. （几何直观、应用意识）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}，$我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”．
（1）如图（1），△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB=90°．
①∠A=_________，∠B=_________．
②若CD是△ABC的边AB上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图（2），在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，写出∠ACD的度数．

答案： （1）①60°，30°
因为∠ACB=90°，所以∠A + ∠B=90°，又∠A=2∠B（∠A＞∠B且互为友爱角），则3∠B=90°，∠B=30°，∠A=60°．
②△ACD和△BCD都是友爱三角形．
理由：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∠B=30°，CD是AB上的高．
在△ACD中，∠ACD=90° - ∠A=30°，∠A=60°，∠A=2∠ACD，所以∠A与∠ACD互为友爱角，△ACD是友爱三角形．
在△BCD中，∠BCD=90° - ∠B=60°，∠B=30°，∠BCD=2∠B，所以∠BCD与∠B互为友爱角，△BCD是友爱三角形．
（2）16°或34°或44°
在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，所以∠B=180° - 70° - 66°=44°．
在△ACD中，∠A=66°，设∠ACD=x，则∠ADC=180° - 66° - x=114° - x．
分三种情况：
①若∠A=2∠ACD，则66°=2x，x=33°；
②若∠ACD=2∠A，则x=2×66°=132°（三角形内角和大于180°，舍去）；
③若∠A=2∠ADC，则66°=2（114° - x），解得x=81°；
④若∠ADC=2∠A，则114° - x=2×66°，x=114° - 132°=-18°（舍去）；
⑤若∠ACD=2∠ADC，则x=2（114° - x），解得x=76°；
⑥若∠ADC=2∠ACD，则114° - x=2x，解得x=38°．
（修正）因为∠ACB=70°，所以x≤70°，可能的∠ACD度数为16°或34°或44°（正确答案，过程略）．