《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

9. （易错题）已知∠AOB=60°，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC=15°，则∠BOC的度数为______。

答案： 15°或45°
由作图可知OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
当OC在∠BOP内时，∠BOC=∠BOP-∠POC=30°-15°=15°，
当OC在∠AOP内时，∠BOC=∠BOP+∠POC=30°+15°=45°，
∴∠BOC的度数为15°或45°。

10. （2024西双版纳期中）如图，在△ABC中，∠BAD=42°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC=2∠C，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F。
（1）求∠C的度数；
（2）若S△ABC=21，DE=3，AB=5，求AC的长。

答案： （1）设∠C=x，则∠ABC=2x，
∵AD平分∠BAC，∠BAD=42°，
∴∠BAC=2∠BAD=84°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴84°+2x+x=180°，
3x=96°，
x=32°，
即∠C=32°；
（2）
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=3，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=21，
$\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF=21$，
$\frac{1}{2}× 5× 3+\frac{1}{2}× AC× 3=21$，
$\frac{15}{2}+\frac{3}{2}AC=21$，
15+3AC=42，
3AC=27，
AC=9。

11. （推理能力）如图（1），在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE//AB交BC于点E，PF//AC交BC于点F。
（1）求证：点D到PE的距离与点D到PF的距离相等；
（2）如图（2），若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想。

答案： （1）
∵PE//AB，
∴∠EPD=∠BAD，
∵PF//AC，
∴∠FPD=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠FPD，
即PD平分∠EPF，
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等；
（2）成立，
∵PE//AB，
∴∠EPD=∠BAD，
∵PF//AC，
∴∠FPD=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠FPD，
即PD平分∠EPF，
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。