《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

完全平方公式
(1)语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的______,加上(或减去)它们的______.
(2)公式:$(a+b)^{2}=$______;
$(a-b)^{2}=$______.

答案：
(1)平方和，积的2倍
(2)$a^{2}+2ab+b^{2}$，$a^{2}-2ab+b^{2}$

【例1】计算$(2a+b)(a-2b)-2(a-b)^{2}$.

答案： $-2a^{2}-3b^{2}+5ab$
解析：$(2a+b)(a-2b)-2(a-b)^{2}$
$=2a^{2}-4ab+ab-2b^{2}-2(a^{2}-2ab+b^{2})$
$=2a^{2}-3ab-2b^{2}-2a^{2}+4ab-2b^{2}$
$=ab-4b^{2}$

【变式1】计算:
(1)$(2a+b)^{2}$;(2)$(3x-2y)^{2}$.

答案：
(1)$4a^{2}+4ab+b^{2}$
解析：$(2a+b)^{2}=4a^{2}+4ab+b^{2}$
(2)$9x^{2}-12xy+4y^{2}$
解析：$(3x-2y)^{2}=9x^{2}-12xy+4y^{2}$

【例2】计算:
(1)$99.8^{2}$;
(2)$(50\frac {1}{2})^{2}$.

答案：
(1)9960.04
解析：$99.8^{2}=(100-0.2)^{2}=100^{2}-2×100×0.2+0.2^{2}=10000-40+0.04=9960.04$
(2)2550.25
解析：$(50\frac {1}{2})^{2}=(50+\frac {1}{2})^{2}=50^{2}+2×50×\frac {1}{2}+(\frac {1}{2})^{2}=2500+50+\frac {1}{4}=2550.25$

【变式2】已知$a+b=4,a^{2}+b^{2}=10$,求$ab$的值.

答案： 3
解析：因为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，所以$4^{2}=10+2ab$，$16=10+2ab$，$2ab=6$，$ab=3$。

1. 我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理验证.观察下列图形,可以推出公式$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$的是( ).
A.
B.
C.
D.

答案： D
解析：选项D的图形通过面积差可以验证$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，大正方形面积为$a^2$，减去两个长为$a$宽为$b$的长方形面积$2ab$，再加上多减的小正方形面积$b^2$，即$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，故答案为D。

2. 若$x^{2}+ax + 16=(x + 4)^{2}$，则$a$的值为( ).
A. -8
B. -4
C. 8
D. 4

答案： C
解析：$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$，所以$a = 8$，故答案为C。

3. 运用完全平方公式计算:$(5x - 3y)^{2}=25x^{2}$______$+9y^{2}$.

答案： $-30xy$
解析：$(5x - 3y)^2 = 25x^2 - 30xy + 9y^2$，故答案为$-30xy$。

4. 计算:$(y-\frac {1}{2})^{2}=$______.

答案： $y^{2}-y+\frac {1}{4}$
解析：$(y - \frac{1}{2})^2 = y^2 - 2× y×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = y^2 - y + \frac{1}{4}$