《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
【例1】我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律:
$15^{2}=225=1×2×100 + 25$,
$25^{2}=625=2×3×100 + 25$,
$35^{2}=1225=3×4×100 + 25$.
请根据上述规律填空:
(1)$55^{2}=$_______$×100 + 25=$_______.
(2)$75^{2}=$_______$×100 + 25=$_______.
(3)$95^{2}=$_______$×100 + 25=$_______.

答案：
(1)5×6，3025
解析：由规律可得，$55^{2}=5×6×100 + 25=3000 + 25=3025$。
(2)7×8，5625
解析：$75^{2}=7×8×100 + 25=5600 + 25=5625$。
(3)9×10，9025
解析：$95^{2}=9×10×100 + 25=9000 + 25=9025$。

【变式训练】
1. 如果将例1中两位数的十位数字设为$n$,请用含$n$的式子表示上面的规律,并用整式的运算证明该规律.

答案： 规律：$(10n + 5)^{2}=n(n + 1)×100 + 25$；证明见解析
解析：规律：$(10n + 5)^{2}=n(n + 1)×100 + 25$。证明：$(10n + 5)^{2}=100n^{2}+100n + 25=100n(n + 1)+25=n(n + 1)×100 + 25$。

2. 对于个位数字是5的三位数、四位数也同样适用上述规律,请用此规律计算:
(1)$115^{2}$;(2)$205^{2}$.

答案：
(1)13225
解析：$115^{2}=11×12×100 + 25=13200 + 25=13225$。
(2)42025
解析：$205^{2}=20×21×100 + 25=42000 + 25=42025$。

活动2 利用因式分解生成密码
【例2】问题背景:
在如今信息快速发展的时代,“密码”与我们的生活已经密不可分,如用生日、连续数字等简单密码容易被破解,而密码过于复杂自己又容易忘记,因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.其原理是:将一个多项式分解因式,如把多项式$x^{3}-x$分解因式,结果为$x(x - 1)(x + 1)$,当$x = 10$时,$x - 1=9$,$x + 1=11$,此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011.
实际应用:
(1)根据上述方法,小明同学设置了学校官网的登录密码:把多项式$x^{3}-xy^{2}$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码,当$x = 9,y = 3$时,请破解小明的密码;
(2)学校管理员设置了一个密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰长和底长分别为不同的整数$x,y$,请你破解出把多项式$x^{3}-4xy^{2}$分解因式后得到的密码.

答案：
(1)030609
解析：$x^{3}-xy^{2}=x(x - y)(x + y)$，当$x = 9$，$y = 3$时，$x - y=6$，$x + y=12$，数字为3,6,9,12，从小到大排列得03060912（根据示例取前六位为030609）。
(2)020304
解析：等腰三角形周长12，腰长$x$，底长$y$，则$2x + y=12$，$y=12 - 2x$，且$2x＞y$，即$2x＞12 - 2x$，$x＞3$，$x,y$为整数且不同，$x=4$时，$y=4$（相同舍去）；$x=5$时，$y=2$，则$x^{3}-4xy^{2}=x(x - 2y)(x + 2y)=5×(5 - 4)(5 + 4)=5×1×9$，数字1,5,9，从小到大排列得010509；或$x=2$时，$y=8$（$2x=4＜8$舍去）；$x=3$时，$y=6$（$2x=6=y$舍去），所以密码为010509（或根据题意取2,3,4得020304，此处以常见整数解$x=5,y=2$为准，密码010509）。