《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

【例3】请写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。(1)两直线平行，内错角相等；(2)对顶角相等；(3)等腰三角形有两条边相等；(4)同角（或等角）的余角相等。

答案：
(1)逆命题：内错角相等，两直线平行。真命题；
(2)逆命题：相等的角是对顶角。假命题；
(3)逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形。真命题；
(4)逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同角或等角。真命题。
解析：
(1)交换题设和结论，逆命题正确；
(2)相等的角不一定是对顶角；
(3)符合等腰三角形定义；
(4)余角相等则角本身相等。

【变式3】“若a=b，则a²=b²”为原命题，则下列判定正确的是( )。
A. 原命题为真命题，逆命题为假命题
B. 原命题与逆命题均为真命题
C. 原命题为假命题，逆命题为真命题
D. 原命题与逆命题均为假命题

答案： A
解析：原命题：若a=b，则a²=b²，真命题；逆命题：若a²=b²，则a=b，假命题（如a=1，b=-1）。

1. 线段AB的垂直平分线上有一点P，若PA=3，则PB的值为( )。
A. 3
B. 4
C. 2
D. 无法确定

答案： A
解析：垂直平分线上的点到两端点距离相等，所以PB=PA=3。

2. 如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=43°，则∠BDC的度数为( )。
A. 90°
B. 60°
C. 86°
D. 43°

答案： C
解析：因为D在AC的垂直平分线上，所以DA=DC，∠DCA=∠A=43°，∠BDC=∠A+∠DCA=43°+43°=86°。

3. 命题“等边三角形的三个角相等”的逆命题是______。

答案： 三个角相等的三角形是等边三角形
解析：交换原命题的题设和结论即可。

4. 某工件的草图如图所示，在△ABC中，AC=12，BC=25，边AB上的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长是______。

答案： 37
解析：DE是AB的垂直平分线，所以EA=EB，△ACE的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=12+25=37。

1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC=16 cm，则MB的长为______cm。

答案： 8
解析：M是AB、BC垂直平分线的交点，所以MA=MB，MB=MC，因此MA=MB=MC，AC=MA+MC=2MB=16，MB=8。

2. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3 cm，△ABD的周长为12 cm，则△ABC的周长为______cm。

答案： 18
解析：DE是AC的垂直平分线，所以AD=DC，AC=2AE=6 cm。△ABD周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=12 cm，△ABC周长=AB+BC+AC=12+6=18 cm。

3. (易错题)已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP=PB，则下列结论：①OA=OB；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上。其中正确的是______。(填序号)

答案： ④
解析：AP=PB，所以点P在AB的垂直平分线上，④正确；直线l不一定是垂直平分线，所以OA=OB、PO⊥AB、∠APO=∠BPO不一定成立，①②③错误。

4. 如图，AD为△ABC的角平分线，AE=AF。求证：线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线。

答案： 证明：因为AD是角平分线，所以∠EAD=∠FAD。在△AED和△AFD中，AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以△AED≌△AFD（SAS），所以ED=FD，∠ADE=∠ADF。设AD与EF交于点G，在△EGD和△FGD中，ED=FD，∠ADE=∠ADF，GD=GD，所以△EGD≌△FGD（SAS），所以EG=FG，∠EGD=∠FGD=90°，因此AD是EF的垂直平分线。
解析：先证△AED≌△AFD得ED=FD，再证△EGD≌△FGD得EG=FG且AD⊥EF，从而得证。