《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

15.(1)化简$m^{3}\cdot m^{2}+(2m^{4})^{2}÷ m^{3}$；
(2)先化简，再求值：$[x(x + 2y)-(x + y)(x - y)]÷(\frac{1}{2}y)$，其中$x=-\frac{1}{2}$，$y = 1$.

答案：
(1)$5m^{5}$
解析：$m^{3}\cdot m^{2}+(2m^{4})^{2}÷ m^{3}=m^{5}+4m^{8}÷ m^{3}=m^{5}+4m^{5}=5m^{5}$
(2)-1
解析：$[x(x + 2y)-(x + y)(x - y)]÷(\frac{1}{2}y)=[x^{2}+2xy-(x^{2}-y^{2})]÷(\frac{1}{2}y)=(x^{2}+2xy-x^{2}+y^{2})÷(\frac{1}{2}y)=(2xy + y^{2})÷(\frac{1}{2}y)=4x + 2y$，当$x=-\frac{1}{2}$，$y = 1$时，原式$=4×(-\frac{1}{2})+2×1=-2 + 2=0$

16.已知$32^{m}=4×2^{2n - 1}$，$3^{n}=9^{m}$，求m，n的值.

答案： $m = 1$，$n = 2$
解析：由$32^{m}=4×2^{2n - 1}$得$(2^{5})^{m}=2^{2}×2^{2n - 1}$，即$2^{5m}=2^{2n + 1}$，所以$5m=2n + 1$；由$3^{n}=9^{m}$得$3^{n}=3^{2m}$，所以$n = 2m$，联立$\begin{cases}5m=2n + 1\\n = 2m\end{cases}$，解得$m = 1$，$n = 2$

17.为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造.已知该地块是长为$(a + 4b)m$，宽为$(a + 3b)m$的长方形地块，如图.学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边长为a m，并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有a，b的式子分别表示出小路的面积$S_{1}$和种植区的总面积$S_{2}$（请将结果化为最简）；
(2)若$a = 2$，$b = 4$，求出此时种植区的总面积$S_{2}$.

答案：
(1)$S_{1}=3ab$，$S_{2}=a^{2}+7ab + 12b^{2}-3ab=a^{2}+4ab + 12b^{2}$
解析：
(1)长方形面积为$(a + 4b)(a + 3b)=a^{2}+7ab + 12b^{2}$，小路面积$S_{1}=a×3b = 3ab$，种植区面积$S_{2}=a^{2}+7ab + 12b^{2}-3ab=a^{2}+4ab + 12b^{2}$
(2)212
解析：当$a = 2$，$b = 4$时，$S_{2}=2^{2}+4×2×4 + 12×4^{2}=4 + 32 + 192=228$