《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

13.如图,∠BAC=90°,AD是∠BAC内部的一条射线,若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证:AF=BE.

答案： 证明：因为∠BAC=90°，所以∠BAE + ∠CAF=90°。又因为BE⊥AD，CF⊥AD，所以∠AEB=∠CFA=90°，∠BAE + ∠ABE=90°，则∠ABE=∠CAF。在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAF，∠AEB=∠CFA，AB=AC，所以△ABE≌△CAF（AAS），因此AF=BE。

14.(2025昭通期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD,分别交AB,AD于点E,F.
(1)求证:△AFE≌△AFC;
(2)若∠ACB=80°,∠BCE=30°,求∠ABC的度数.

答案：
(1)证明：因为AD平分∠BAC，所以∠EAF=∠CAF。因为CE⊥AD，所以∠AFE=∠AFC=90°。在△AFE和△AFC中，∠EAF=∠CAF，AF=AF，∠AFE=∠AFC，所以△AFE≌△AFC（ASA）。
(2)50°
解析：由
(1)知△AFE≌△AFC，所以∠ACE=∠AEC。因为∠ACB=80°，∠BCE=30°，所以∠ACE=80° - 30°=50°，则∠AEC=50°。在△BEC中，∠BEC=180° - 50°=130°，所以∠ABC=180° - 130° - 30°=20°（此处修正为：∠AEC=∠ACE=50°，∠BEC=180° - 50°=130°，∠ABC=180° - ∠ACB - ∠BEC + ∠BCE=180° - 80° - 130° + 30°=0°，显然错误，正确解法：∠AEC=∠ACE=50°，∠B=∠AEC - ∠BCE=50° - 30°=20°，修正为20°）。

15.(1)问题背景:如图(1),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是线段BC和线段CD上的点,若∠BAD=2∠EAF,试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论.他的结论应是________(不用写证明过程).

答案： EF=BE + FD
解析：延长FD到G，使DG=BE，证△ABE≌△ADG，得AE=AG，∠BAE=∠DAG。因为∠BAD=2∠EAF，所以∠EAF=∠GAF，证△AEF≌△AGF，得EF=GF=DG + FD=BE + FD。