《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

14. 当$x$取何值时，下列分式有意义以及无意义？
(1)$\frac{x^2+1}{(x-2)(x-3)}$；
(2)$\frac{x^2+2}{|x|-2}$；
(3)$\frac{3x}{x^2+1}$.

答案：
(1)有意义：$x≠2$且$x≠3$；无意义：$x=2$或$x=3$
解析：分母$(x - 2)(x - 3)≠0$时，分式有意义，即$x≠2$且$x≠3$；分母为0时，$x=2$或$x=3$，分式无意义。
(2)有意义：$x≠±2$；无意义：$x=±2$
解析：分母$|x| - 2≠0$，即$|x|≠2$，$x≠±2$时，分式有意义；分母为0时，$x=±2$，分式无意义。
(3)有意义：$x$为任意实数；无意义：不存在
解析：分母$x^2 + 1≥1＞0$，分母恒不为0，所以$x$为任意实数时，分式有意义，不存在无意义的情况。

15. 当$x$为何整数值时，分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数？

答案： $x=0,2,3,-1$
解析：$\frac{2}{x - 1}$为整数，则$x - 1$是2的因数，2的因数有±1，±2。所以$x - 1=1$，$x=2$；$x - 1=-1$，$x=0$；$x - 1=2$，$x=3$；$x - 1=-2$，$x=-1$。整数$x$的值为0,2,3,-1。

16. （推理能力）已知分式$\frac{a(b - c)+b(c - b)}{a - c}$（$a,b,c$均为正实数）有意义且值为零，若以$a,b,c$的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ）.
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形

答案： A
解析：分式值为0，分子$a(b - c)+b(c - b)=(a - b)(b - c)=0$，所以$a=b$或$b=c$，又分式有意义，分母$a - c≠0$，即$a≠c$，所以三角形有两边相等，为等腰三角形，A正确。

17. （推理能力、运算能力）自学下面材料后，解答问题.
[探究]分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式. 如：$\frac{x - 2}{x + 1}＞0$，$\frac{2x + 3}{x - 1}＜0$等. 那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负. 其字母表达式为：
(1)若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$；若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$.
(2)若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$；若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
反之：(3)若$\frac{a}{b}＞0$，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0,\\b＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0,\\b＜0\end{array}\right.$.
(4)若$\frac{a}{b}＜0$，则______.
[应用]根据上述材料，求不等式$\frac{x - 2}{x + 1}＞0$的解集.

答案： $\left\{\begin{array}{l}a＞0,\\b＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0,\\b＞0\end{array}\right.$；$x＞2$或$x＜-1$
解析：
(4)由有理数除法法则，$\frac{a}{b}＜0$时，$a$与$b$异号，即$\left\{\begin{array}{l}a＞0,\\b＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0,\\b＞0\end{array}\right.$。
[应用]不等式$\frac{x - 2}{x + 1}＞0$，则$\left\{\begin{array}{l}x - 2＞0,\\x + 1＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x - 2＜0,\\x + 1＜0\end{array}\right.$，解得$x＞2$或$x＜-1$。