《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

11. 将4个数$a,b,c,d$排成2行2列,两边各加一条竖线记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$,定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$,上述记法叫作二阶行列式. 若$\begin{vmatrix}x + 2&x - 3\\x + 1&x - 2\end{vmatrix}=5x$，则$x$的值为________.

答案： -1
解析：$\begin{vmatrix}x + 2&x - 3\\x + 1&x - 2\end{vmatrix}=(x + 2)(x - 2)-(x - 3)(x + 1)=x^{2}-4-(x^{2}+x - 3x - 3)=x^{2}-4 - x^{2}+2x + 3=2x - 1$，由$2x - 1 = 5x$得$x=-\frac{1}{3}$

12. 已知$5x^{2}-x - 1 = 0$,则代数式$(3x + 2)(3x - 2)+x(x - 2)$的值为________.

答案： -1
解析：$(3x + 2)(3x - 2)+x(x - 2)=9x^{2}-4 + x^{2}-2x=10x^{2}-2x - 4=2(5x^{2}-x)-4$，由$5x^{2}-x - 1 = 0$得$5x^{2}-x = 1$，所以原式$=2×1 - 4=-2$

13. 计算：(1)$(x + 3)(x - 7)-x(x - 1)$;

答案： $-3x - 21$
解析：$(x + 3)(x - 7)-x(x - 1)=x^{2}-7x + 3x - 21 - x^{2}+x=-3x - 21$

13. 计算：(2)$5y^{2}-(y - 2)(3y + 1)-2(y + 1)(y - 5)$.

答案： $12y + 12$
解析：$5y^{2}-(y - 2)(3y + 1)-2(y + 1)(y - 5)=5y^{2}-(3y^{2}+y - 6y - 2)-2(y^{2}-5y + y - 5)=5y^{2}-3y^{2}+5y + 2 - 2y^{2}+8y + 10=13y + 12$

14. 如图,在长为$4a - 1$,宽为$3b + 2$的长方形铁片上,挖去一块长为$3a - 2$,宽为$2b$的小长方形铁片. (1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积；

答案： $12ab + 8a - 3b - 2 - 6ab + 4b=6ab + 8a + b - 2$
解析：大长方形面积$(4a - 1)(3b + 2)=12ab + 8a - 3b - 2$，小长方形面积$(3a - 2)×2b=6ab - 4b$，阴影面积$12ab + 8a - 3b - 2-(6ab - 4b)=6ab + 8a + b - 2$

14. (2)求出当$a = 4,b = 3$时的阴影部分的面积.

答案： 6×4×3 + 8×4 + 3 - 2=72 + 32 + 3 - 2=105
解析：当$a = 4$，$b = 3$时，$6×4×3 + 8×4 + 3 - 2=72 + 32 + 3 - 2=105$

15. (运算能力)请先阅读下列解题过程,再回答后面的问题.
我们可以先从简单的情形入手.然后归纳出一些方法.
(1)分别化简下列各式：$(x - 1)(x + 1)=$_____；$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=$_____；$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=$_____；…$(x - 1)(x^{99}+x^{98}+\cdots+x + 1)=$_____.

答案： $x^{2}-1$；$x^{3}-1$；$x^{4}-1$；$x^{100}-1$
解析：$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$；$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$；$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$；依此类推$(x - 1)(x^{99}+x^{98}+\cdots+x + 1)=x^{100}-1$

15. (2)请你利用上面的结论计算：$2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1$.

答案： $2^{100}-1$
解析：由
(1)结论，令$x = 2$，则$2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1=(2 - 1)(2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1)=2^{100}-1$