《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的______.

答案： 一半

【例题】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,DE是AB的垂直平分线,垂足为E,DE交BC于点D,连接AD.(1)求证:DC=DE；(2)若CD=3,求BD的长.

答案：
(1)证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠B=∠DAB=30°。
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°。
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=30°。
∵∠C=90°，DE⊥AB，∠CAD=∠DAB=30°，
∴DC=DE。
(2)解：
∵DC=DE=3，∠B=30°，DE⊥AB，
∴BD=2DE=6。

1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3.5 cm,则AB等于( ).A. 3.5 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 7 cm

答案： D
解析：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=1/2AB。
∵BC=3.5cm，
∴AB=2×3.5=7cm。

2. 等腰三角形的一腰长为3a,底角为15°,则另一腰上的高为( ).A. a B. 1.5a C. 2a D. 3a

答案： B
解析：作腰上的高，顶角=180°-2×15°=150°，腰上的高在三角形外部，高=腰长×sin(180°-150°)=3a×sin30°=3a×1/2=1.5a。

3. 如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为( ).A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm

答案： C
解析：
∵AC=BC，∠B=15°，
∴∠BAC=∠B=15°。
∴∠ACD=∠BAC+∠B=30°。
∵AD⊥BC，
∴AD=1/2AC=1/2×10=5cm。

4. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,BC=√3 cm,AB=______cm.

答案： 2√3
解析：
∵∠C=90°，∠B=2∠A，
∴∠A=30°，∠B=60°。
∴BC=1/2AB。
∵BC=√3cm，
∴AB=2√3cm。

【变式】某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱?

答案： 过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠BAD=150°，
∴∠BAC=180° - 150°=30°. 在Rt△ABE中，∠BAC=30°，AB=20m，
∴AE=AB·sin30°=20×1/2=10m. BC=BD + DC=20 + 40=60m，
∴S△ABC=1/2×BC×AE=1/2×60×10=300m². 购买草皮需要300a元.