《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

章末总结复习
思维导图·发展创新意识
因式分解的概念
定义:把一个多项式化成几个整式的_______的形式
因式分解与整式乘法是_______的变形
因式分解的方法
提公因式法
公因式:多项式各项都有的公共的因式
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式
公式法
$a^{2}-b^{2}=$_______
$a^{2}\pm2ab + b^{2}=$_______

答案： 乘积，互逆，$(a - b)(a + b)$，$(a\pm b)^{2}$
解析：因式分解定义是化成整式乘积形式，与整式乘法互逆，平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b)$，完全平方公式$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$。

一、选择题
1. 下列各式从左到右的变形,分解因式正确的是( ).
A.$(a + 3)^{2}=a^{2}+6a + 9$
B.$a^{2}-4a + 4=a(a - 4)+4$
C.$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
D.$a^{2}-2a - 1=(a - 1)^{2}$

答案： C
解析：A是整式乘法，B没分解成乘积形式，C正确，D$(a - 1)^{2}=a^{2}-2a + 1\neq a^{2}-2a - 1$。故选C。

2. 下列各组中的两个代数式,没有公因式的一组是( ).
A.$5xy$和$xy^{3}$
B.$5x - y$和$x + 5y$
C.$5x - 5y$和$6x - 6y$
D.$5x$和$15y$

答案： B
解析：A公因式$xy$，B无公因式，C公因式$x - y$，D公因式5。故选B。

3. 把多项式$2(a - 2)+6x(2 - a)$分解因式,结果是( ).
A.$(a - 2)(2 + 6x)$
B.$(a - 2)(2 - 6x)$
C.$2(a - 2)(1 + 3x)$
D.$2(a - 2)(1 - 3x)$

答案： D
解析：$2(a - 2)+6x(2 - a)=2(a - 2)-6x(a - 2)=2(a - 2)(1 - 3x)$。故选D。

4. 如果$4x^{2}-2mx + 9$是一个完全平方式,那么$m$的值是( ).
A.36
B.$\pm6$
C.$\pm12$
D.6

答案： B
解析：$4x^{2}-2mx + 9=(2x)^{2}-2mx + 3^{2}$，完全平方则$-2mx=\pm2×2x×3$，即$-2m=\pm12$，$m=\pm6$。故选B。

5. 分解因式$4xy^{2}-24xy + 36x$,结果正确的是( ).
A.$x(2y + 6)^{2}$
B.$2x(y - 3)^{2}$
C.$4x(y - 6)^{2}$
D.$4x(y - 3)^{2}$

答案： D
解析：$4xy^{2}-24xy + 36x=4x(y^{2}-6y + 9)=4x(y - 3)^{2}$。故选D。

6. 已知$a + b=6$,$a - b=2$,则$3a^{2}-3b^{2}$等于( ).
A.36
B.24
C.18
D.12

答案： A
解析：$3a^{2}-3b^{2}=3(a - b)(a + b)=3×2×6=36$。故选A。

7. 已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长,则代数式$(a - c)^{2}-b^{2}$的值( ).
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零

答案： B
解析：$(a - c)^{2}-b^{2}=(a - c - b)(a - c + b)$，三角形两边之和大于第三边，所以$a - c - b＜0$，$a - c + b＞0$，则乘积为负。故选B。

8. 已知$n$为正整数,某学习小组在用代入法求代数式$n^{3}-n$的值时,出现四个答案,请问以下答案可能正确的是( ).
A.1713
B.1714
C.1715
D.1716

答案： D
解析：$n^{3}-n=(n - 1)n(n + 1)$，连续三个整数乘积，必能被6整除，1716÷6=286，能整除。故选D。

二、填空题
9. 分解因式:$m^{3}n - 4mn^{3}+$_______.

答案： $mn(m - 2n)(m + 2n)$
解析：$m^{3}n - 4mn^{3}=mn(m^{2}-4n^{2})=mn(m - 2n)(m + 2n)$。

10. 分解因式:$a^{2}(x - y)+(y - x)=$_______.

答案： $(x - y)(a - 1)(a + 1)$
解析：$a^{2}(x - y)+(y - x)=(x - y)(a^{2}-1)=(x - y)(a - 1)(a + 1)$。

11. 若$a^{2}+ab=16 + m$,$b^{2}+ab=9 - m$,则$a + b$的值为_______.

答案： $\pm5$
解析：两式相加得$a^{2}+2ab + b^{2}=25$，即$(a + b)^{2}=25$，$a + b=\pm5$。

12. 已知$m^{2}+n^{2}=25$,$mn=12$,则$mn^{3}+m^{3}n$的值为_______.

答案： 300
解析：$mn^{3}+m^{3}n=mn(m^{2}+n^{2})=12×25=300$。