《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

角的平分线的判定
（1）定义法。
（2）角的内部到角两边______的点在角的平分线上。

答案： 距离相等

【例题】如图，点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE相交于点F，且BF=CF。求证：点F在∠MAN的平分线上。

答案：
∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△BDF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle BDF=\angle CEF\\ \angle BFD=\angle CFE\\ BF=CF\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF，
∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴点F在∠MAN的平分线上。

【变式】如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC等于（ ）。
A. 120°
B. 125°
C. 130°
D. 140°

答案： A
∵点O到三边的距离相等，
∴O是△ABC三条角平分线的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°。

1. 如图，PM=PN，∠BOC=32°，则∠AOB的度数为（ ）。
A. 32°
B. 45°
C. 64°
D. 52°

答案： C
∵PM=PN，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOC=64°。

2. 如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M，N，PM=PN，所以OP平分∠AOB，理由是______。

答案： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

3. 如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=______。

答案： 55°
∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，
∴OP平分∠MON，
∴∠POA=$\frac{1}{2}$∠MON=25°，
∵∠OPC=30°，
∴∠PCA=∠POA+∠OPC=25°+30°=55°。

4. 如图，D，E是AC上两点，F，G是AB上两点，且DE=FG，S△ODE=S△OFG。求证：点O在∠BAC的平分线上。

答案： 过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵S△ODE=$\frac{1}{2}× DE× OM$，S△OFG=$\frac{1}{2}× FG× ON$，
S△ODE=S△OFG，DE=FG，
∴OM=ON，
∵OM⊥AC，ON⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上。