《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

1. 若$a - b = 1$，$ab = 2$，则$(a + b)^{2}$的值为( ).
A. -9
B. 9
C. ±9
D. 3

答案： B
解析：$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 1 + 8 = 9$，故答案为B。

2. 若$a + b = 3$，$a^{2}+b^{2}=7$，则$ab$等于( ).
A. 2
B. 1
C. -2
D. -1

答案： B
解析：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$9 = 7 + 2ab$，$2ab = 2$，$ab = 1$，故答案为B。

3. (1)已知$ab = 4$，$a - b = 3$，则$a + b=$______;
(2)已知$a+\frac {1}{a}=6$，则$\frac {a^{4}+a^{2}+1}{a^{2}}=$______;
(3)已知$(200 + a)(198 + a)=199$，则$(200 + a)^{2}+(198 + a)^{2}=$______;
(4)已知$x$满足$(x - 2022)^{2}+(2024 - x)^{2}=12$，则$(x - 2023)^{2}$的值为______.

答案：
(1)$\pm \sqrt{17}$
解析：$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 9 + 16 = 25$，$a + b = ±5$
(2)35
解析：$\frac{a^4 + a^2 + 1}{a^2} = a^2 + 1 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 1 = 36 - 1 = 35$
(3)402
解析：设$m = 200 + a$，$n = 198 + a$，则$m - n = 2$，$mn = 199$，
$m^2 + n^2 = (m - n)^2 + 2mn = 4 + 398 = 402$
(4)4
解析：设$t = x - 2023$，则$x - 2022 = t + 1$，$2024 - x = 1 - t$，
$(t + 1)^2 + (1 - t)^2 = 12$
$t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 = 12$
$2t^2 + 2 = 12$
$t^2 = 5$，即$(x - 2023)^2 = 5$

4. 已知$a + b = 3$，$ab=-12$，求下列各式的值.
(1)$a^{2}+b^{2}$;
(2)$a^{2}-ab + b^{2}$;
(3)$(a - b)^{2}$;
(4)$a - b$.

答案：
(1)33
解析：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 9 + 24 = 33$
(2)45
解析：$a^2 - ab + b^2 = 33 - (-12) = 45$
(3)57
解析：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 33 + 24 = 57$
(4)$\pm \sqrt{57}$
解析：$a - b = ±\sqrt{(a - b)^2} = ±\sqrt{57}$

5. 如图(1)是一个长为$2m$,宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的形状拼成正方形$ABCD$.
(1)观察图(2),试猜想式子$(m + n)^{2}$，$(m - n)^{2}$，$mn$之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)根据(1)中的数量关系,解答下列问题:
①已知$x - y = 5$，$xy=-6$，求$x + y$的值;
②已知$a＞0$，$a-\frac {2}{a}=1$，求$a+\frac {2}{a}$的值.

答案：
(1)$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn$
证明：图
(2)中正方形边长为$m + n$，面积$(m + n)^2$；也可看作边长为$m - n$的正方形面积加上4个长为$m$宽为$n$的长方形面积，即$(m - n)^2 + 4mn$，所以$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn$
(2)①$\pm 1$
解析：$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 25 - 24 = 1$，$x + y = ±1$
②$3$
解析：$(a + \frac{2}{a})^2 = (a - \frac{2}{a})^2 + 8 = 1 + 8 = 9$，因为$a＞0$，所以$a + \frac{2}{a} = 3$