《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

4. （1）如图，将一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C，在△ABC中．若∠A=30°，则∠ABC + ∠ACB=______，∠XBC + ∠XCB=______．
（2）如果改变直角三角尺XYZ的位置，但三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX + ∠ACX的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠ABX + ∠ACX的大小．

答案： （1）150°，90°
∠ABC + ∠ACB=180° - ∠A=150°，∠X=90°，所以∠XBC + ∠XCB=90°．
（2）不变，60°
∠ABX + ∠ACX=（∠ABC - ∠XBC） + （∠ACB - ∠XCB）=（∠ABC + ∠ACB） - （∠XBC + ∠XCB）=150° - 90°=60°．

5. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图（1），若AB//CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD + ∠D．得∠BPD=∠B - ∠D．将点P移到AB，CD内部，如图（2），以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
（2）在图（2）中，将直线AB转动一定角度交直线CD于点Q，如图（3），则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？（不需要证明）
（3）根据（2）的结论求图（4）中∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数．

答案： （1）不成立，∠BPD=∠B + ∠D．
证明：过点P作PE//AB，则∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等）．
因为AB//CD，所以PE//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∠D=∠DPE，所以∠BPD=∠BPE + ∠DPE=∠B + ∠D．
（2）∠BPD=∠B + ∠D + ∠BQD．
（3）180°
连接CE，由（2）知∠A + ∠B=∠BEC + ∠AEC，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E=∠BEC + ∠AEC + ∠C + ∠D + ∠E=（∠AEC + ∠C + ∠D + ∠E） + ∠BEC=180° + 0°=180°（三角形内角和）．