《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

B 能力达标练
8. (2024 昆明官渡区期中)已知$3^n = a$，$3^m = b$，则$3^{m + n + 1}=$______。
9. 计算：
(1)$-x^6\cdot(-x)+(-x)^4\cdot(-x)^3$；
(2)$(b - a)^2(a - b)^3(b - a)^5$。
10. 规定$m*n = 3^n×3^m$。
(1) 求$2*3$；
(2) 若$2*(x + 1)=81$，求$x$的值。
11. 已知$a^3 = m$，$a^5 = n$，试用含$m$，$n$的式子表示$2a^8$。

答案： 8. $3ab$
解析：$3^{m + n + 1}=3^m\cdot3^n\cdot3^1=ab×3 = 3ab$。
9.
(1)$0$
解析：原式$=-x^6\cdot(-x)+x^4\cdot(-x^3)=x^7 - x^7=0$。
(2)$-(a - b)^{10}$
解析：$(b - a)^2(a - b)^3(b - a)^5=(a - b)^2(a - b)^3[-(a - b)^5]=-(a - b)^{2 + 3 + 5}=-(a - b)^{10}$。
10.
(1) 243
解析：$2*3=3^3×3^2=27×9 = 243$。
(2) 2
解析：$2*(x + 1)=3^{x + 1}×3^2=3^{x + 3}=81 = 3^4$，所以$x + 3=4$，解得$x = 1$（原答案$x = 2$错误，经修正应为$x = 1$）。
11. $2mn$
解析：$a^8=a^3\cdot a^5=mn$，所以$2a^8=2mn$。

12. 已知$(a + b)^a\cdot(b + a)^b=(a + b)^5$，且$(a - b)^{a + 4}\cdot(a - b)^{4 - b}=(a - b)^7$，求$a^a b^b$的值。

答案： 16
解析：由$(a + b)^a\cdot(b + a)^b=(a + b)^{a + b}=(a + b)^5$，得$a + b = 5$。
由$(a - b)^{a + 4}\cdot(a - b)^{4 - b}=(a - b)^{a - b + 8}=(a - b)^7$，得$a - b + 8=7$，即$a - b=-1$。
联立$\begin{cases}a + b = 5\\a - b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 3\end{cases}$，所以$a^a b^b=2^2×3^3=4×27 = 108$（原答案 16 错误，经修正应为 108）。

C 素养提升练
13. （推理能力）阅读材料：
求$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4+\cdots+2^{2025}$的值。
解：设$S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4+\cdots+2^{2025}$。①
将等式两边同时乘 2，得
$2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5+\cdots+2^{2025}+2^{2026}$。②
② - ①，得$2S - S=2^{2026}-1$。
所以$S = 2^{2026}-1$，
即$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4+\cdots+2^{2025}=2^{2026}-1$。
请你仿照此法计算：$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4+\cdots+3^n$（其中$n$为正整数）。

答案： $\frac{3^{n + 1}-1}{2}$
解析：设$S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4+\cdots+3^n$。①
将等式两边同时乘 3，得$3S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4+\cdots+3^n + 3^{n + 1}$。②
② - ①，得$3S - S=3^{n + 1}-1$，所以$2S=3^{n + 1}-1$，则$S=\frac{3^{n + 1}-1}{2}$。