《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

平方差公式
(1)语言叙述：两个数的______与这两个数的______的积，等于这两个数的______；
(2)公式：$(a + b)(a - b)=$______.

答案：
(1)和，差，平方差
(2)$a^{2}-b^{2}$

【例1】如图，图(1)中阴影部分的面积是______，图(2)中阴影部分的面积是______，由此你得到的等式是$(a + b)(a - b)=$______.

答案： $a^{2}-b^{2}$，$(a + b)(a - b)$，$a^{2}-b^{2}$

【例2】用平方差公式计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)=$______；
(2)$69×71=$______；
(3)$(-2x - 3)(-2x + 3)=$______.

答案：
(1)$x^{2}-9$
解析：$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
(2)4899
解析：$69×71=(70 - 1)(70 + 1)=70^{2}-1^{2}=4900 - 1=4899$
(3)$4x^{2}-9$
解析：$(-2x - 3)(-2x + 3)=(-2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9$

【变式1】用乘法公式计算：
(1)$124×122 - 123^{2}$；
(2)$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2}+4y^{2})$.

答案：
(1)-1
解析：$124×122 - 123^{2}=(123 + 1)(123 - 1)-123^{2}=123^{2}-1 - 123^{2}=-1$
(2)$x^{4}-16y^{4}$
解析：$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2}+4y^{2})=(x^{2}-4y^{2})(x^{2}+4y^{2})=x^{4}-16y^{4}$

1.若$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-k$成立，则k的值为( ).
A.3
B.6
C.9
D.-9

答案： C
解析：$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-9=x^{2}-k$，所以$k = 9$，故选C.

2.下列各式中，计算结果为$81 - x^{2}$的是( ).
A.$(x + 9)(x - 9)$
B.$(x + 9)(-x - 9)$
C.$(-x - 9)(-x - 9)$
D.$(-x - 9)(x - 9)$

答案： D
解析：$(-x - 9)(x - 9)=-(x + 9)(x - 9)=-(x^{2}-81)=81 - x^{2}$，故选D.

3.计算：$(-b-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})=$______.

答案： $\frac{1}{4}-b^{2}$
解析：$(-b-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2}-b)(-\frac{1}{2}+b)=(-\frac{1}{2})^{2}-b^{2}=\frac{1}{4}-b^{2}$

4.若$m^{2}=9$，$n^{2}=3$，则$(m + n)(m - n)=$______.

答案： 6
解析：$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}=9 - 3=6$

5.在横线上填上适当的数，使等式成立：$(-1 - 2y)(1 +$______$)=4y^{2}-1$.

答案： 2y
解析：$4y^{2}-1=(-1 - 2y)(-1 + 2y)=(-1 - 2y)(1 + 2y)$，所以横线上填$2y$

6.计算：
(1)$(2 + 3a)(3a - 2)$；
(2)$100\frac{1}{4}×99\frac{3}{4}$.

答案：
(1)$9a^{2}-4$
解析：$(2 + 3a)(3a - 2)=(3a)^{2}-2^{2}=9a^{2}-4$
(2)$9999\frac{15}{16}$
解析：$100\frac{1}{4}×99\frac{3}{4}=(100 + \frac{1}{4})(100 - \frac{1}{4})=100^{2}-(\frac{1}{4})^{2}=10000-\frac{1}{16}=9999\frac{15}{16}$