《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

10. 分解因式：
(1)$(2x - 3)^{2}-x^{2}$；
(2)$(x + y)^{2}-9b^{2}$；
(3)$1 - (x + y)^{2}$；
(4)$4a^{2}-(x + y)^{2}$.

答案：
(1)$(3x - 3)(x - 3)$
解析：$(2x - 3)^{2}-x^{2}=(2x - 3 + x)(2x - 3 - x)=(3x - 3)(x - 3)=3(x - 1)(x - 3)$（简化后）。
(2)$(x + y + 3b)(x + y - 3b)$
解析：$(x + y)^{2}-9b^{2}=(x + y)^{2}-(3b)^{2}=(x + y + 3b)(x + y - 3b)$。
(3)$(1 + x + y)(1 - x - y)$
解析：$1 - (x + y)^{2}=1^{2}-(x + y)^{2}=(1 + x + y)(1 - x - y)$。
(4)$(2a + x + y)(2a - x - y)$
解析：$4a^{2}-(x + y)^{2}=(2a)^{2}-(x + y)^{2}=(2a + x + y)(2a - x - y)$。

11. 某校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要.如图，某校劳动实践基地有两块边长分别为$a$，$b$的正方形土地$A$，$B$，其中不能使用的面积为$M$.
(1)用含$b$，$M$的代数式表示$B$中能使用的面积：_______；
(2)若$a + b = 15$，$a - b = 5$，求$A$比$B$多出的使用面积.

答案：
(1)$b^{2}-M$
解析：$B$的面积为$b^{2}$，能使用面积为总面积减不能使用面积$M$。
(2)75
解析：$A$比$B$多出的使用面积为$(a^{2}-M)-(b^{2}-M)=a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=15×5 = 75$。

12. (规律探究题)从边长为$a$的正方形中减掉一个边长为$b$的正方形，如图(1)，然后将剩余部分拼成一个长方形，如图(2).
(1)上述操作过程能验证的等式是_______；
(2)若$9x^{2}-16y^{2}=30$，$3x + 4y = 6$，求$4y - 3x$的值；
(3)计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})\cdots(1-\frac{1}{99^{2}})(1-\frac{1}{100^{2}})$.

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
解析：图形面积关系验证平方差公式。
(2)$-5$
解析：$9x^{2}-16y^{2}=(3x + 4y)(3x - 4y)=30$，已知$3x + 4y = 6$，则$3x - 4y = 5$，所以$4y - 3x=-5$。
(3)$\frac{101}{200}$
解析：原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})\cdots(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\cdots×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$。