《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

分式的基本性质：分式的______与______乘（或除以）______，分式的值不变.
用式子表示：$\frac{A}{B}=$______，$\frac{A}{B}=$______，其中$A,B,C(C≠0)$是整式.

答案： 分子；分母；同一个不等于0的整式；$\frac{A×C}{B×C}$；$\frac{A÷C}{B÷C}$
解析：分式基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为$\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$（$C≠0$）。

【例1】根据分式的基本性质填空：$\frac{2x + 2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2}{( )}$，括号内应填______.

答案： $x - 1$
解析：分子$2x + 2=2(x + 1)$，分母为$(x + 1)(x - 1)$，分子分母同时除以$(x + 1)$，得$\frac{2}{x - 1}$，括号内应填$x - 1$。

【变式1】在括号内填上适当的整式：
(1)$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^2b}$；
(2)$\frac{3}{4y}=\frac{( )}{4y(x + y)}$；
(3)$\frac{x^2 + xy}{x^2}=\frac{x + y}{( )}$.

答案：
(1)$a(a + b)$
解析：分母$ab$乘$a$得$a^2b$，分子也乘$a$，为$a(a + b)$。
(2)$3(x + y)$
解析：分母$4y$乘$(x + y)$得$4y(x + y)$，分子也乘$(x + y)$，为$3(x + y)$。
(3)$x$
解析：分子$x^2 + xy=x(x + y)$，分子除以$x$得$x + y$，分母$x^2$除以$x$得$x$。

【例2】不改变分式的值，把分式$\frac{0.2x + 1}{5 - 0.3x}$的分子、分母中各项的系数化为整数.

答案： $\frac{2x + 10}{50 - 3x}$
解析：分子分母同时乘10，得$\frac{10×(0.2x + 1)}{10×(5 - 0.3x)}=\frac{2x + 10}{50 - 3x}$。

【变式2】不改变分式的值，把分式$\frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y}{\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y}$的分子、分母中各项的系数化为整数.

答案： $\frac{6x + 3y}{6x - 4y}$
解析：分子分母各项系数分母的最小公倍数是12，分子分母同时乘12，得$\frac{12×(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y)}{12×(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)}=\frac{6x + 3y}{6x - 4y}$。

【例3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“-”号.
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$.

答案：
(1)$-\frac{2a}{b}$
解析：分子含负号，可将负号提到分式前，$\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$。
(2)$\frac{4x}{5y}$
解析：分子分母都含负号，负负得正，$\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$。
(3)$-\frac{3m}{n}$
解析：分母含负号，将负号提到分式前，$\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$。
(4)$\frac{2b}{3c}$
解析：分式前和分母都含负号，负负得正，$-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。