《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

运用平方差公式分解因式
(1)语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的_______与这两个数的_______的积.
(2)公式：$a^{2}-b^{2}=$_______.

答案：
(1)和；差；
(2)$(a + b)(a - b)$
解析：平方差公式的语言表述及公式形式。

【例1】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ).
A. $a^{2}+b^{2}$
B. $2a - b^{2}$
C. $16a^{2}-9b^{2}$
D. $-a^{2}-b^{2}$

答案： C
解析：平方差公式要求是两项差的形式，且每项为平方，C选项$16a^{2}-9b^{2}=(4a)^{2}-(3b)^{2}$，符合，故选C。

【变式1】分解因式：
(1)$9x^{2}-y^{2}$；
(2)$25 - 16x^{2}$.

答案：
(1)$(3x + y)(3x - y)$
解析：$9x^{2}-y^{2}=(3x)^{2}-y^{2}=(3x + y)(3x - y)$。
(2)$(5 + 4x)(5 - 4x)$
解析：$25 - 16x^{2}=5^{2}-(4x)^{2}=(5 + 4x)(5 - 4x)$。

【例2】若$a + b = 4$，$a - b = 1$，求$(a + 2)^{2}-(b - 2)^{2}$的值.

答案： 20
解析：原式$=(a + 2 + b - 2)(a + 2 - b + 2)=(a + b)(a - b + 4)=4×(1 + 4)=4×5 = 20$。

【变式2】分解因式$(4x + y)^{2}-9y^{2}$，并求值，其中$x + y = 2$，$y - 2x = 3$.

答案： $(4x + 4y)(4x - 2y)$；-48
解析：原式$=(4x + y + 3y)(4x + y - 3y)=(4x + 4y)(4x - 2y)=4(x + y)×2(2x - y)=8(x + y)(2x - y)$。由$x + y = 2$，$y - 2x = 3$得$2x - y=-3$，代入得$8×2×(-3)=-48$。

1. 对多项式$4x^{2}-1$进行因式分解，正确的是( ).
A. $4x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$
B. $4x^{2}-1=(2x + 1)(2x - 1)$
C. $4x^{2}-1=(4x + 1)(4x - 1)$
D. $4x^{2}-1=(1 + 2x)(1 - 2x)$

答案： B
解析：$4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}=(2x + 1)(2x - 1)$，故选B。

2. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是( ).
A. $4x^{2}+y^{2}$
B. $-4x^{2}-y^{2}$
C. $-4x^{2}+y^{2}$
D. $-4x + y^{2}$

答案： C
解析：C选项$-4x^{2}+y^{2}=y^{2}-(2x)^{2}=(y + 2x)(y - 2x)$，符合平方差公式，故选C。

3. 分解因式：$16m^{2}-9n^{2}=$_______.

答案： $(4m + 3n)(4m - 3n)$
解析：$16m^{2}-9n^{2}=(4m)^{2}-(3n)^{2}=(4m + 3n)(4m - 3n)$。