《2025年优佳学案（云南）八年级数学上册人教版》

1.通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是( ).
A.$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$2a(a + b)=2a^{2}+2ab$
D.$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$

答案： D
解析：图中左边是边长为$a$和$b$的长方形面积差，右边是边长为$a - b$和$a + b$的长方形面积，所以表示$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，故选D.

2.如图(1)，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图(2)的等腰梯形.
(1)设图(1)中阴影部分的面积为$S_{1}$，图(2)中阴影部分的面积为$S_{2}$，请直接用含a，b的代数式表示$S_{1}$，$S_{2}$；
(2)请写出上述过程所表示的乘法公式.

答案：
(1)$S_{1}=a^{2}-b^{2}$，$S_{2}=\frac{(2a + 2b)(a - b)}{2}=(a + b)(a - b)$
解析：
(1)$S_{1}=a^{2}-b^{2}$，图
(2)梯形上底为$2b$，下底为$2a$，高为$a - b$，$S_{2}=\frac{(2a + 2b)(a - b)}{2}=(a + b)(a - b)$
(2)$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
解析：由$S_{1}=S_{2}$得$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$

3.(2024 玉溪期末)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ).
A.$(m - n)(-m + n)$
B.$(m + n)(-m + n)$
C.$(m - n)(m - n)$
D.$(-m - n)(-m - n)$

答案： B
解析：A.$(m - n)(-m + n)=-(m - n)^{2}$，不能用平方差公式；
B.$(m + n)(-m + n)=(n + m)(n - m)=n^{2}-m^{2}$，能用平方差公式；
C.$(m - n)(m - n)=(m - n)^{2}$，不能用平方差公式；
D.$(-m - n)(-m - n)=(m + n)^{2}$，不能用平方差公式.
故选B.

4.(易错题)计算$(a + 2b)(a - 2b)$，结果是( ).
A.$a^{2}-2b^{2}$
B.$a^{2}+4b^{2}$
C.$a^{2}-4b^{2}$
D.$4b^{2}-a^{2}$

答案： C
解析：$(a + 2b)(a - 2b)=a^{2}-(2b)^{2}=a^{2}-4b^{2}$，故选C.

5.计算：$x^{2}-(x + 2)(x - 2)$的结果是______.

答案： 4
解析：$x^{2}-(x + 2)(x - 2)=x^{2}-(x^{2}-4)=x^{2}-x^{2}+4 = 4$

6.计算：
(1)$(\frac{1}{2}a + 1)(\frac{1}{2}a - 1)$；
(2)$(-x + 4)(-x - 4)$；
(3)$(3n - 2m)(-3n - 2m)$.

答案：
(1)$\frac{1}{4}a^{2}-1$
解析：$(\frac{1}{2}a + 1)(\frac{1}{2}a - 1)=(\frac{1}{2}a)^{2}-1^{2}=\frac{1}{4}a^{2}-1$
(2)$x^{2}-16$
解析：$(-x + 4)(-x - 4)=(-x)^{2}-4^{2}=x^{2}-16$
(3)$4m^{2}-9n^{2}$
解析：$(3n - 2m)(-3n - 2m)=(-2m + 3n)(-2m - 3n)=(-2m)^{2}-(3n)^{2}=4m^{2}-9n^{2}$

7.计算：
(1)$(x + 3)(2x - 1)-3(x + 1)(x - 1)$；
(2)$998×1002$.

答案：
(1)$2x$
解析：$(x + 3)(2x - 1)-3(x + 1)(x - 1)=2x^{2}-x + 6x-3 - 3(x^{2}-1)=2x^{2}+5x-3 - 3x^{2}+3=-x^{2}+5x$
(2)999996
解析：$998×1002=(1000 - 2)(1000 + 2)=1000^{2}-2^{2}=1000000 - 4=999996$