《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

8. 学校准备组织学生去白云山春游，甲、乙两家旅行社原价都是每人 $ 60 $ 元，且都表示对学生优惠。甲旅行社表示：全部按八折收费。乙旅行社表示：若人数不超过 $ 30 $，全部按九折收费；若人数超过 $ 30 $，则超过部分全部按七折收费。
(1) 试分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的费用 $ y $（元）与参加春游学生人数 $ x $ 之间的关系式，其中对乙旅行社应按人数是否超过 $ 30 $ 分两种情况列出；
(2) 讨论选择哪家旅行社比较合算；
(3) 试在同一个平面直角坐标系中画出（1）中写出的两个函数的图象，并根据图象解释（2）讨论的结果。

答案：

(1)设甲旅行社实际收取的费用为$y_{1}$元,乙旅行社实际收取的费用为$y_{2}$元。则$y_{1}=0.8×60x=48x$。当$0＜x\leqslant 30$时,$y_{2}=0.9×60x=54x$;当$x＞30$时,$y_{2}=0.9×60×30+0.7×60(x-30)=42x+360$
(2)当$48x=42x+360$时,解得$x=60$。所以当$0＜x＜60$时,选择甲旅行社比较合算;当$x=60$时,两家旅行社费用一样,选择甲、乙旅行社都可以;当$x＞60$时,选择乙旅行社比较合算
(3)函数图象如图所示。 观察图象可知,当$0＜x＜60$时,$y_{1}$的图象在$y_{2}$图象的下方,选择甲旅行社比较合算;当$x=60$时,两家旅行社费用一样,选择甲、乙旅行社都可以;当$x＞60$时,$y_{1}$的图象在$y_{2}$图象的上方,选择乙旅行社比较合算(答案合理即可)

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ AB:y = -\dfrac{3}{4}x + b $ 交 $ y $ 轴于点 $ A(0,3) $，交 $ x $ 轴于点 $ B $，直线 $ x = 2 $ 交 $ AB $ 于点 $ D $，交 $ x $ 轴于点 $ E $，$ P $ 是直线 $ x = 2 $ 上一动点，且在点 $ D $ 的上方。设点 $ P $ 的坐标为 $ (2,n) $。
(1) 求点 $ B $ 的坐标及点 $ O $ 到直线 $ AB $ 的距离；
(2) 求 $ \triangle ABP $ 的面积（用含 $ n $ 的代数式表示）；
(3) 当 $ S_{\triangle ABP} = 1 $ 时，以 $ PB $ 为边在第一象限作等腰直角三角形 $ BPC $，求点 $ C $ 的坐标（不考虑边在坐标轴上的情况）。
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答案：
(1)$B(4,0)$ 点 O 到直线 AB 的距离为$\frac {3×4}{5}=\frac {12}{5}$
(2)$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}(n-\frac {3}{2})×4=2n-3$
(3)点 C 的坐标是$(4,4)$或$(6,2)$或$(4,2)$