《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

5. 某足球比赛的规则是胜一场得$3$分，平一场得$1$分，负一场得$0$分。已知某足球队在$22$场比赛之后的积分为$47$分，且胜的场次比负的场次的$4$倍还多$2$场，问：这支球队胜、平、负各多少场？

答案： 设胜$x$场，平$y$场，负$z$场。
根据题意得：
$\begin{cases}x + y + z = 22, \\3x + y = 47, \\x = 4z + 2.\end{cases}$
将$x = 4z + 2$代入$x + y + z = 22$，得：
$4z + 2 + y + z = 22$，
$y + 5z = 20$，
$y=20-5z$，
将$x = 4z + 2$和$y=20-5z$代入$3x + y = 47$，得：
$3(4z + 2) +20-5z = 47$，
$12z + 6 +20-5z = 47$，
$7z = 21$，
$z = 3$。
将$z = 3$代入$x = 4z + 2$，得：
$x = 4×3 + 2=14$，
将$z = 3$代入$y=20-5z$，得：
$y=20-5×3=5$，
所以方程组的解为：
$\begin{cases}x = 14, \\y = 5, \\z = 3.\end{cases}$
答：胜$14$场，平$5$场，负$3$场。

1. 若实数$x$，$y$，$z$满足$\begin{cases}x + y + z = 5, \\ 4x + y - 2z = 2,\end{cases}$ 则代数式$4x - 4z + 1$的值是多少？

答案： $-3$

2. 某工程由甲、乙两队合作$6$天完成，厂家需付甲、乙两队共$8700$元；乙、丙两队合作$10$天完成，厂家需付乙、丙两队共$9500$元；甲、丙两队合作$5$天完成全部工程的$\frac{2}{3}$，厂家需付甲、丙两队共$5500$元。
(1) 甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2) 若工期要求不超过$15$天，则由哪队单独完成此项工程厂家所付费用最少？请说明理由。

答案：
(1)设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需$x$天、$y$天、$z$天，工作效率分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$。根据题意得：
$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{10} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{15}\end{cases}$
设$a=\frac{1}{x}$，$b=\frac{1}{y}$，$c=\frac{1}{z}$，则：
$\begin{cases}a+b=\frac{1}{6}① \\ b+c=\frac{1}{10}② \\ a+c=\frac{2}{15}③\end{cases}$
①+②+③得：$2(a+b+c)=\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{2}{15}=\frac{5+3+4}{30}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，即$a+b+c=\frac{1}{5}$④
④-①得$c=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$，则$z=30$；
④-②得$a=\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$，则$x=10$；
④-③得$b=\frac{1}{5}-\frac{2}{15}=\frac{1}{15}$，则$y=15$。
(2)设甲、乙、丙队每天费用分别为$m$元、$n$元、$p$元。根据题意得：
$\begin{cases}6(m+n)=8700 \\ 10(n+p)=9500 \\ 5(m+p)=5500\end{cases}$，化简得：
$\begin{cases}m+n=1450① \\ n+p=950② \\ m+p=1100③\end{cases}$
①+②+③得$2(m+n+p)=3500$，即$m+n+p=1750$④
④-①得$p=300$；④-②得$m=800$；④-③得$n=650$。
甲队总费用：$10×800=8000$元；乙队总费用：$15×650=9750$元；丙队工期$30＞15$（舍去）。
因为$8000＜9750$，所以甲队费用最少。
(1)甲10天，乙15天，丙30天；
(2)甲队。