《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

1. 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。

答案： 一次

2. 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。

答案： 公共解

3. 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”，通过代入消元法或加减消元法进行“消元”，把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。在“消元”的过程中，必须保证每个方程至少用一次。

答案： 消元

1. 下列方程组是三元一次方程组的是(C)。

A.$\begin{cases}x + y + z = 3, \\ y + z + 3w = 4, \\ x + z + w = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y + z = 0, \\ y + 2yz = 10, \\ x - 2z = 11\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y + z = 3, \\ x - y + z = 0, \\ x = z + 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 3, \\ y + \frac{1}{z} = 4, \\ x + z = 5\end{cases}$

答案： C

2. 已知方程组$\begin{cases}a + b = -1, \\ b + c = 2, \\ c + a = 3,\end{cases}$ 则$a + b + c =$2。

答案： 2

3. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}4x - 9z = 17, \\ 3x + y + 15z = 18, \\ x + 2y + 3z = 2;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = 2, \\ y + z = 4, \\ z + x = 6;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x : y = 3 : 4, \\ y : z = 5 : 6, \\ x + y - z = 22。\end{cases}$

答案：
(1) $\begin{cases}4x - 9z = 17,① \\ 3x + y + 15z = 18,② \\ x + 2y + 3z = 2;③\end{cases}$
②×2 - ③得：$6x + 2y + 30z - (x + 2y + 3z) = 36 - 2$，即$5x + 27z = 34.④$
①×3 + ④得：$12x - 27z + 5x + 27z = 51 + 34$，$17x = 85$，$x = 5$。
将$x = 5$代入①：$4×5 - 9z = 17$，$20 - 9z = 17$，$z = \frac{1}{3}$。
将$x = 5$，$z = \frac{1}{3}$代入②：$3×5 + y + 15×\frac{1}{3} = 18$，$15 + y + 5 = 18$，$y = -2$。
解为$\begin{cases}x = 5 \\ y = -2 \\ z = \frac{1}{3}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = 2,① \\ y + z = 4,② \\ z + x = 6;③\end{cases}$
① + ② + ③得：$2x + 2y + 2z = 12$，$x + y + z = 6.④$
④ - ①得：$z = 4$；④ - ②得：$x = 2$；④ - ③得：$y = 0$。
解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 0 \\ z = 4\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x:y = 3:4,① \\ y:z = 5:6,② \\ x + y - z = 22;③\end{cases}$
由①得$x = \frac{3}{4}y$；由②得$z = \frac{6}{5}y$。
代入③：$\frac{3}{4}y + y - \frac{6}{5}y = 22$，$\frac{15y + 20y - 24y}{20} = 22$，$\frac{11y}{20} = 22$，$y = 40$。
$x = \frac{3}{4}×40 = 30$，$z = \frac{6}{5}×40 = 48$。
解为$\begin{cases}x = 30 \\ y = 40 \\ z = 48\end{cases}$

4. 已知$|x + 2y - 5| + (2y + 3z - 13)^2 + \sqrt{3z + x - 10} = 0$，求$x$，$y$，$z$的值。

答案： 答题卡：
根据题意，由于绝对值、平方和算术平方根都是非负数，所以若它们的和为0，则每一项都必须为0。
因此，得到以下三个方程：
$x + 2y - 5 = 0$ （1），
$2y + 3z - 13 = 0$ （2），
$3z + x - 10 = 0$ （3）。
从（1）式，可以得到：
$x = 5 - 2y$ （4），
将（4）式代入（3）式，得到：
$3z + 5 - 2y - 10 = 0$，
即$2y - 3z = -5$ （5），
将（2）式和（5）式联立，可以得到：
$2y + 3z = 13$ （2），
$2y - 3z = -5$ （5），
（2）式-（5）式得：
$6z=18$，
解得$z = 3$，
将$z = 3$代入（2）式，得到：
$2y + 9 = 13$，
从中解得：
$y = 2$，
再将$y = 2$代入（4）式，得到：
$x = 5 - 2× 2= 1$，
综上所述，本题答案是：$x = 1$，$y = 2$，$z = 3$。