《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

10. 某学校想要购买甲、乙两种消毒液，购买$9$桶甲种消毒液和$6$桶乙种消毒液共花费$615$元，购买$8$桶甲种消毒液和$12$桶乙种消毒液共花费$780$元。
(1) 求购买每桶甲种消毒液和每桶乙种消毒液各需多少元。
(2) 该校计划购买甲、乙两种消毒液共$30$桶，其中购买甲种消毒液的数量不少于$18$桶但不超过$25$桶。怎样购买才能使总费用最少？求出最少总费用。

答案：
(1)购买每桶甲种消毒液需45元，购买每桶乙种消毒液需35元
(2)设购买甲种消毒液a桶，乙种消毒液$(30 - a)$桶，购买总费用为w元，则$18\leqslant a\leqslant 25$，$w = 45a + 35(30 - a)=10a + 1050$。因为$10 ＞ 0$，所以w的值随着a值的增大而增大。所以当$a = 18$时，$w_{最小} = 10× 18 + 1050 = 1230$。所以购买甲种消毒液18桶，乙种消毒液12桶，才能使总费用最少，最少总费用是1230元

11. 某工程队承包了一段全长$1957m$的隧道工程，甲、乙两组分别从南、北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进$0.5m$，经过$6$天施工，甲、乙两组共掘进$57m$。
(1) 甲、乙两组平均每天各掘进多少米？
(2) 通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进$0.3m$，乙组平均每天比原来多掘进$0.2m$，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

答案：
(1)设甲、乙两组平均每天各掘进x m，y m，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} x - y = 0.5,\\ 6(x + y)=57,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 4.5\end{array}\right. $。所以甲、乙两组平均每天各掘进5 m，4.5 m
(2)设按原来的施工进度和改进技术后的施工进度分别还需要a天、b天完成任务，$a=(1957 - 57)÷ (5 + 4.5)=200$，$b=(1957 - 57)÷ (5 + 4.5 + 0.3 + 0.2)=190$，$a - b = 10$。所以能够比原来少用10天完成任务