《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

3. 如图，小聪把一个等腰直角三角尺放到两墙之间，已知 $ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC $，$ AB = 20\ cm $，于是他很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为(B)。

A.$ \frac{100}{13}\ cm^{2} $
B.$ \frac{200}{13}\ cm^{2} $
C.$ \frac{150}{13}\ cm^{2} $
D.$ \frac{50}{13}\ cm^{2} $

答案： B

4. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中，斜边 $ AB = 4 $，则 $ AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}= $32。

答案： 32

5. 如图，在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 4 $，将长方形沿 $ AC $ 折叠，使点 $ D $ 落在点 $ D' $ 处，$ CD' $ 交 $ AB $ 于点 $ F $，则重叠部分 $ \triangle AFC $ 的面积是10。

答案： 10

6. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的 $ U $ 形池的示意图，该 $ U $ 形池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 $ \frac{40}{\pi}\ m $ 的半圆，其边缘 $ AB = CD = 20\ m $，点 $ E $ 在 $ CD $ 上，$ CE = 5\ m $，一滑板爱好者从点 $ A $ 滑到点 $ E $，则他滑行的最短路程约为25m。(边缘部分的厚度忽略不计)

答案： 25m

7. (2024·陕西)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ E $ 是边 $ AB $ 上一点，连接 $ CE $，在 $ BC $ 的右侧作 $ BF // AC $，且 $ BF = AE $，连接 $ CF $。若 $ AC = 13 $，$ BC = 10 $，则四边形 $ EBFC $ 的面积为60。

答案： 60

8. 定义：若以三条线段 $ a,b,c $ 为边能构成一个直角三角形，则称线段 $ a,b,c $ 是勾股线段组。
（1）如图①，已知点 $ M,N $ 是线段 $ AB $ 上的点，线段 $ AM,MN,NB $ 是勾股线段组，若 $ AB = 12 $，$ AM = 3 $，求 $ MN $ 的长；
（2）如图②，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 18^{\circ} $，$ \angle B = 27^{\circ} $，边 $ AC,BC $ 的垂直平分线分别交 $ AB $ 于点 $ M,N $，说明：线段 $ AM,MN,NB $ 是勾股线段组。

答案：

(1)由AB=12,AM=3,根据三角形三边关系可得，AM不可能为最大边。设MN=x,则BN=9−x。①当MN为最长线段时,依题意得MN²=BN²+AM²,即x²=(9−x)²+3²,解得x=5;②当BN为最长线段时,依题意得BN²=MN²+AM²,即(9−x)²=x²+3²,解得x=4。所以MN的长为5或4
(2)如图,连接CM,CN。 因为边AC,BC的垂直平分线分别交AB于点M,N,所以CM=AM,CN=NB。所以∠1=∠A=18°,∠2=∠B=27°。因为∠ACB=180°−18°−27°=135°,所以∠MCN=135°−18°−27°=90°。所以MN²=CM²+CN²。所以MN²=AM²+NB²。所以线段AM,MN,NB是勾股线段组